Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из общего выражения (8.1), г-ю компоненту плотности тока для спектра (18.1) можно привести к виду
,,__.(^wyia Я-йИ.)^*. (Ш8,
при этом мы деформировали эллипсоид (18.1) заменой к і = = I^zra0J к[ и перешли к интегрированию по энергии, учитывая тот факт, что Pi и Tni зависят от е.
Введем формулу усреднения для анизотропного спектра (18.1):
<л(е)> = (8Туі°з)1/2 I (- д-к)?3/2 (е) А (е) (18л9)
где
Ио = ^f/'2 j (- дА) ff* (е) (18.20)
есть концентрация носителей заряда в одной долине со спектром 14 Б. М. Аскеров 209(18.1). Отметим, что в случае изотропной зоны (18.19) сводится к формуле усреднения (13.21).
Тогда (18.18) имеет следующий символический вид:
/4 = -е»о<Л(в)/т{(е)>. (18.21)
Эта формула имеет ясный физический смысл: компоненты плотности тока определяются" средним соответствующих" компонент дрейфовой скорости, так как Pi есть компоненты импульса силы, вызывающей дрейф, a PiZmi — скорость дрейфа.
Аналогичным образом, в силу (8.2), можно также вычислить компоненты плотности потока энергии.
§ 19. Тензоры проводимости в полупроводниках
с анизотропным законом дисперсии
1. Тензоры проводимости в главных осях эллипсоида. Используя решение (18.16) из (18.21) можно найти' явный вид обобщенного закона Ома в системе координат, связанной с главными осями одного эллипсоида (18.1):
U = ^kEk+№ J (г, fc = 1,2,3), (19.1)
т. е. можно определить компоненты тензоров проводимости Cik и ?rt в главных осях одного эллипсоида, где Ek — компоненты градиента электрохимпотенциала, a VkT — градиент температуры.
Ограничимся областью слабых магнитных полей (v0 < 1). Тогда в (18.16) можно положить (l + —v2. Подставляя
(18.16) в (18.21), получим явный вид соотношения (19.1). В результате для компоненты тензора проводимости Oift в главных осях одного эллипсоида с точностью до ~Нг получим
-^ - +Ф>4
O1.-H9 (Wl\ я Я
12 с Xm1Hia/ s^ с2- 0 \тіт2тз/ 1 2
ац = !І/ VA я2 + e^ H1H31
13 С Vim3/ C2 \™1т2тз/
(19.2)
а„ - «Ч <х^,> - --
O21 (н) = O12 (- н), CT31 (H) = O13 (- Н), 032 (H) = CT23 (- Н), 210 , "где H1, H2, Hi — компоненты вектора напряженности магнитного поля в главных осях эллипсоида.
Эти выражения упрощаются и тензор проводимости характеризуется только одним параметром анизотропии в том случае, когда все компоненты тензора эффективной Массы и тензора времени релаксации имеют одинаковые зависимости от энергии и, кроме того, эллипсоиды (18.1") являются эллипсоидами вращения. Эти условия запишем в виде
ті (є) = toit* (є), mt(e) = тоіт*(е), (19.3)
где т*(є) и т* (є) — безразмерные величины, определяющие зависимости ti и ті от энергии Є.
При этих условиях, которые выполняются для многих известных полупроводников, тензор (19.2) имеет простой вид
,, + «3 (Hi + VHl) U2H3 - Cl3H1H2 -aA H2 - U3H1H3
(Oih) =
-U2H3^a3H1H2 a1+a3(Hl + yHl) ^H1-U3H2II3 ^H2-CL3H1H3 -t1IH1-U3H2H3 а-1 + ал(н\ + нї)
Здесь
e2n0<ijm±), O2 =---Чті/ті),
я.ч = --7-°
mIт I
(19.5)
(19.6)
а параметр
Ч=(тщ/т01) (T0Jxm) , (19.7)
характеризует анизотропию спектра и рассеяния.
Термомагнитный тензор получается из (19.5), если заменить аи а2, а3 коэффициентами bt, b2, Ь3, соответственно,
Ъ, = e^i(B-QxJm1), Ъ2 =-Є^((г-1)хІ/тІ),,
(19.8)
'--34-°'?
При получении (19.8) мы в (18Д6) использовали явный вид возмущающей силы (9.16).
2. Тензор проводимости в фиксированной системе координат. Мы, нашли явный вид тензора проводимости в слабом магнитном поле в главных осях одного эллипсоида (19.5). Однако в кубических полупроводниках, в которых зона анизотропна, экстрему-
15 Б. М. Аскеров 211мы находятся не в центре зоны Бриллюэна и поэтому их несколько. Такие структуры зоны получили название многоэллипсоидной или многодолинной модели (см. § 3).
Здесь в зависимости от расположения эллипсоидов в зоне Бриллюэна мы рассмотрим две модели, которые соответствуют структуре зоны проводимости реальных полупроводников.
Модель А — минимумы зоны проводимости находятся в направлениях [111] на границе зоны Бриллюэна в L-точках (см. рис. 4), причем йзоэнергетические поверхности около минимумов представляют собой эллисоиды вращения, с осью вращения, направленной по оси типа [111]. Эта модель реализуется в п-Ge и в соединениях халькогенидов свинца -PbTe, PbSe и PbS (см. § 3, п. 2 п 6). Отметим, что для rc-Ge зона параболична (3.3), а для халькогенидов закон дисперсии непараболичен (3.39). Число минимумов в этой модели равно восьми, а число полных эллипсоидов, приходящих в зону Бриллюэна, равно четырем.
Модель В — минимумы зоны проводимости расположены в направлениях [100] внутри зоны Бриллюэна (см. рис. 5), причем нзоэнергетпческие поверхности около каждого из 6 минимумов представляют собой эллипсоиды вращения с осью вращения, направленной по осп типа [100]. Эта модель реализуется в rc-Si, в котором закон дисперсии около каждого минимума имеет вид (3.3).
Предположим, что процессы рассеяния, связанные с перебросом электрона проводимости из одного минимума в другой, нё имеют место, т. е. не учтем междолинные переходы. В этом приближении токи для каждого эллипсоида независимы и. полный ток ^Рредставляет собой сумму токов, обусловленных отдельными минимумами.