Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для того, чтобы учесть вклады всех эллипсоидов її найти пол- • ный тензор проводимости, определим тензор проводимости в фик~ сиро ванной системе координат, оси которой направлены по ребрам куба элементарной ячейки. Для этого преобразуем (19.5) соответствующим образом в эту систему и просуммируем вклады от всех эллипсоидов. Этот этап необходим, потому что расположения эллипсоидов нам известны только в фиксированной системе.
При суммировании вкладов отдельных эллипсоидов следует учесть, что полярный б и азимутальный ф углы, определяющие направления оси вращения эллипсоидов, принимают следующие значения:
для модели А
cos 0 = 1/УЗ, ф != (2п + 1)я/4, п = 0,1,2,3; (19.9)
для модели В
9 = ф = 0; Э = я, ф = 0; 0 = я/2, ф = 0, ^g ^
Э = я/2, ф = я, 0 = ф = я/2, 0 = я/2, ф = Зя/2.
В результате для полного тензора проводимости в фиксиро-
212" ванной системе координат получим выражение >
(Oih) = (
'^+a^Hl+HD+o^l O3Hz +OiHxHy -а3Ну +OiHxHz
- O3Hz + OiHxHb CT0H-C1 (Hl+Hl)+o2Hl о3Нх + OiHyHz O3Hy + OiHxHl - O3Hx + OiIIyIIz во+аі(нІ+НІ)+огНІ
(19.11)
здесь Hx, Ну, Hz — компоненты вектора напряженности магнитного поля в фиксированной системе. Введены обозначения для модели А:
ав = (Aa1/З4) (1 + 2Т), O1 = (4a3/9f) (2 + + 2?),
(19.12)
а2 = (8а,/9т) (I-T)2, O3 = (4я2/3у) (2 + -у), O4 = -O1; для модели В: O0 = ^a1Iy) (i + 2y), O1 = (2а3/у) (1 + у + у2), O2 = О, O3 = (2?/?) (2 + у), O4 = — 6а3.
Аналогично преобразуется ТеНЗОр Pij.
3. Тензоры проводимости в подвижной системе координат.
Для того чтобы найти кинетические коэффициенты для произвольного направлення магнитного поля, тока и градиента температуры, нам нужно знать явный вид тензоров проводимости в подвижной системе координат, оси которой произвольным образом направлены в пространстве относительно кристаллографических осей.
Подвижная система получается из фиксированной следующим образом: а) совершаем поворот фиксированной системы вокруг оси Z на угол ср; полученную систему назовем (х', у', z); б) совершаем поворот новой системы вокруг оси г/* на угол 0; в результате получим систему (х", у', z'); в) совершаем поворот вокруг х" на угол if. Легко показать, что в этом случае матрица преобразования фиксированной системы к подвижной имеет вид
(COS 6 COS ф COS 6 sin ф —sin 6 \
— COS ф sin 6 sin sin ф COS Ij) COS ф COS If —sin ф sin 6 sin 1|> —cos 6 sinI. sin 6 cos ф cos ij> — sin ф sin if , sin ф cos^ij) sin 6 + cos ф sin ij> cos 6 cos t|> /
(19.14)
Отметим, что при повороте осей вышеуказанную последовательность необходимо соблюдать, так как все последующие результаты справедливы именно для такой последовательности.
Пусть ось Z подвижной системы совпадает с Направлением' магнитного поля Н, а ось х с' направлением электрического тока (в случае гальваномагнитных явлений) или градиента температуры (в случае термомагнитных явлений). Тогда все заданные направления магнитного поля и тока (или градиента температу-
213" ры) мы можем получить путем выбора соответствующие углов поворота. Например, допустим, нам надо знать кинетические коэффициенты в случае, когда H направлено по оси [110], а ток (или градиент температуры)—по [110]. Для этого фиксированную систему нужно повернуть так,- чтобы ее ось совпала с направлением [110], а ось X — с_ [110]. Легко представить, что для получения требуемых результатов в окончательных формулах достаточно положить ф = я/4, 0 = 0, гр = я/2. Таким путем все возможные варианты можно сразу получить из общих окончательных выражений.
Используя матрицу преобразования (19.14), можно показать, что тензор проводимости Oift в подвижной системе координат имеет вид (напомним, что магнитное поле Я направлено по оси z подвижной системы)
(Oih)
O0^q1H2 CTgtf +0 (Я2)
о (я2)
O3H + 0(tf2)
о (я2)
О (Я2)
0(tf2)
Чн
(19.15)
где
?1-= Oi-(Oi-O2+ O4) Он (ф, 0, г|з), (19.16)
qi = O1 -(O1 - G2 + а4)о22(ф, 0, гр), (19.17)
q3 =O2+(Gi-G2 +а4)O33(ф, 0, гр), (19.18) O11 (ф, 0, гр) — (cos2 0)/2[(4 - Sin2 2ф)біп2 0 cos2 гр +
+ sin2 гр sin2 2ф - V2 sin 0 sin ф sin 2гр], (19.19) o22 (ф, 0, гр) = V2 [sin2 0 sin2 2ф + sin2 2гр -- V16 (4- sin2 2ф)зіп2 20 sin2 2гр - V4 (1 + 7 sin2 0)sin2 2ф sin2 2гр +
+ (1 + sin2 0) sin 0 sin 2ф sin 2гр cos 2гр cos 2ф], (19.20) o33 (ф, 0, гр)= V2[(sin2 20 + sin4 0 sin2 2ф)соз4 гр +
+ sin4 гр sin2 2ф - V2 (3 sin2 0 sin2 2ф - 2)sin2 2гр -
— (sin2 гр — sin2 0 cos2 гр) sin 0 sin 2гр sin 4ф]. (19.21)
Явный вид членов О (Я2) в (19.15) мы не приводим, так как в этом приближении (~Я2) опи не входят в окончательные выражения для кинетических коэффициентов.
В подвижной системе тензор ?tA также имеет вид (19.15), но в этом случае следует заменить O1, а2, а3 коэффициентами Ъи b2, Ь3 из (19.8), соответственно.
§ 20. Основные кинетические эффекты в кубических полупроводниках с анизотропным законом дисперсии
Результаты, полученные в предыдущих двух параграфах, по-? зволяют найти явный вид основных кинетических коэффициентов в различных предельных случаях для полупроводников с анизотропным законом дисперсии. 214 1. Отсутствие магнитного поля. При отсутствии магнитного поля тензор электропроводности для кубических полупроводников (19.15) и соответствующий термомагнитный тензор как следовало ожидать, превращаются в скаляр. В результате для электропроводности о(0) и термо-э. д. с. а(0) получим выражения
