Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных механизмов рассеяния на основе формул (9.23) и (10.14). 1
2. Рассеяние носителей заряда примесными атомами. При низких температурах, когда колебания решетки неинтенсивны и фононный газ разрежен, основным механизмом рассеяния в полупроводниках является рассеяние носителей заряда на атомах примеси. Допустим, что в кристалле с объемом V атомы примеси* с общим числом N хаотически распределены, так чтобы их концентрация Ni = NfV была везде одинакова. Атомы примеси могут быть как нейтральными, так и ионизованными. Координаты точек, где расположены атомы примеси, обозначим через R. Поскольку масса атомов примеси Mi > т0 — массы электрона, то можно считать, что примеси неподвижны и их положения в решетке фиксированы.
1
*) В (10.13) мы учли, что б (ах) = —- б (х).
92 В данной ,задаче возмущением является потенциал, создаваемый всеми атомами примеси в произвольной точке г, т. е. в (10.1)
N
Ж = ^1U(T-Rj). (10.15)
3=1
Пока не будем конкретизировать вид этого потенциала.
Невозмущенпым состоянием в данном случае является состояние электрона (дырки) в идеальной, неколеблющейся решетке. Тогда в (10.3) п обозначает совокупность таких квантовых чисел, как нсшер зоны I, спиновое квантовое число s и компоненты волнового вектора к. Мы не будем учитывать межзонные переходы, что неважно для стационарных явлений переноса, и, кроме того, будем считать, что при рассеянии спины носителей заряда не переворачиваются. Поэтому достаточно характеризовать состояние носителей заряда квантовым числом к, энергией є (к) и волновой функцией Блоха (1.15), определяемыми из уравнения (1.11).
Тогда вероятность перехода к -»- к' благодаря рассеянию на примесном потенциале (10.15), согласно (10.14), имеет вид
W (к, к') = 2jift-i [ (k' j Ж I к) I2 б (єк— ек), (10.16)
где
(k' І Ж' I к) = j (г) ( i U (г - Rj) j г|>к (r) dr. (10.17)
Отметим, что примесный атом и рассеянный электрон обмениваются импульсом. При этом изменение энергии - npnivfecn Ъг(к' — к)г/2М < TizUzZmss — энергии электрона, так как М>т„. Поэтому рассеяние носителей тока на атомах примеси носит упругий характер є (k') = є (к), что видно из (10.16).
Для вычисления матричного элемента (10.17), вообще говоря, надо использовать блоховскую волновую функцию электрона в идеальной решетке (1.6). Для простоты ограничимся приближением эффективной маосы и при вычислении матричного элемента (10.17) вместо функции Блоха используем волновую функцию свободного электрона с эффективной массой*), нормированной на объем кристалла V:
i|jk (г) = У-1/2 ехр (Zkr). (10.18)
Подставляя (10.18) в (10.17), для квадрата модуля матричного элемента получим выражение
I (k'la'lk) I2 = F-2^k, k') + 42(k, k')), (10.19)
где
A1 (к, к') = 2
j=i
j* С/ (г — Rj) ехр [і (к - к', г)'] dr I2, (10.20)
*) Учет блоховских множителей при вычислении матричного элемента и соответственно времени релаксации будем обсуждать отдельно (см. § 12).
» ' 93 N
A2 (к, к') = ' 2 { J U (F1- Rj) ехр [i(k - к', F1)] ^r1 X
X ^(га-К,')ехр[-і(к-к'гг2)]Лг}. (10.21)
В (10.19) произведем замену переменных, полагая г —Rj = г'. Тогда легко получим
A1 (к, к') = NIJ U (г') ехр [і (к - к', г')] dr' |2. (10.22)
Если в (10.21) введем новые переменные интегрирования T1 = T1 — Rj и T2 = T2 — Rj/, jo А г можно представить в виде
A2 (к, к') = ф 2 exP Iі (к -к-- Ri')i- (10-23)
Л ЇФУ
Вещественная часть этого выражения есть
А, (к, k')=il 2 cos (к-к', Rj-Rr). (10.24)
N Ш'
Следуя [5],
отметим, что слагаемое A1 (10.22) описывает рассеяние электрона всеми N примесными атомами при условии, что рассеяние на каждом из них происходит независимо от всех остальных. Иначе говоря, величина A1 характеризует рассеяние, которое имело бы место в отсутствие интерференции электронных ролн, рассеянных разными атомами примеси. Такое рассеяние называется некогерентным. В этом случае, как видно из (10.22), результат рассеяния на одном атоме умножается на полное число рассеивающих атомов примеси.
В отличие от Au величина A2 зависит от расположения примесных атомов в решетке и описывает эффект интерференции электронных волн, рассеянных различными .атомами примеси. Если предположить, что атомы примеси в решетке расположены хаотически, то можно пренебречь интерференционным членом A2 в (10.19). Этот результат, в частности, следует из (1Q.24). Действительно, если примеси расположены хаотически, то в (10.24) положительных и отрицательных членов будет равное количество и слагаемое. А2 обращается в нуль.
Таким образом, в условиях некогереатного рассеяния (A2 = 0) из (10.16), (10.19) и (10.22) для вероятности перехода получим выражение
I2o(ek-ek,), (10.25)
W (к, к') = Ц- ^r I JV (г) ехр [ї(к- к',, г)] dt
где Mt = NfV —- концентрация атомов примеси, причем переменная. интегрирования г' заменена на г.
Общую формулу (10.25) можно использовать для вычисления вероятности перехода при рассеянии на различных потенциалах, создаваемых атомами примесей йли дефектами решетки.
