Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы здесь будем использовать метод потенциала деформации, предложенный Бардином и Шокли [26]. Идея этого метода заключается в следующем: когда в кристалле распространяется упругая волна, элементарная ячейка, деформируясь, меняет свой объем (меняется постоянная решетки), что приводит к изменению положения дна зоны проводимости и потолка валентной зоны, так как ширина зоны чувствительна к величине постоянной решетки. Изменение дна зоны проводимости и есть энергия взаимодействия электронов проводимости с колебаниями решетки. Очевидно, она должна быть связана с величиной смещения (11.24). Известно, что для акустических колебаний при q ->- О все атомы в элементарной ячейке колеблются синфазно, т. е. вектор ew(q) от номера атома в элементарной ячейке к не зависит. Поэтому вектор ej(q) для длинноволновых акустических волн, согласно (11.46), единичен. Тогда в этом случае для смещения из (11.24) можем написать з
йак (г) = -у= 2 2 e^ (Ч) 1? (4>ехр (Jqr) + Ь* (q) ехр (— iqr)}, (11.25) V" q i=i
где 6j(q)-—единичный вектор поляризации.
Поскольку при длинноволновых акустических колебаниях элементарная ячейка почти не деформируется*) (колеблется только центр масс), то энергия взаимодействия не может быть пропорциональна самому смещению, а должна быть линейной функцией от первых производных смещения Uoft (г) по координатам:
^k = ^ diVUaK (Г), (11.26)
что называется потенциалом деформации, а коэффициент пропорциональности E1 — константой потенциала деформации, под-
*) При q = 0 деформация полностью отсутствует.
105 лежащей определению из эксперимента (~10 эВ). Значения E1 для электронов проводимости Elc и для дырок Elv, вообще говоря, различны, так как края зоны при деформации сдвигаются по-разному.
Следует отметить, что (11.26) справедливо только для полупроводников типа A111Bv и A11Bvi с,изотропным законом дисперсии, в которых экстремум зоны находится в центре зоны Бриллюэна. В общем случае константа потенциала деформации явля-
з
ется тензором Eiaf и Жак = 2 Ma? "a?iгде Ma? — тензор деформа-
3=1
ции. Даже в кубическом кристалле типа ra-Ge E1^ не скаляр, а имеет две компоненты, что обусловливает анизотропию рассеяния электронов проводимости в таких полупроводниках.
Подставляя (11.25) jb (11.26), получим
iE 3
= Ук- 2 2 (4е;) [bj (q) ехр (iqr) - Ъ* (q) ехр (- iqr)}. (11.27)
У Л- ,и -
Отсюда видно, что в изотропном случае электрон проводимости взаимодействует только с продольными длинноволновыми акустическими фононами (qHe3-). Конечно, в случае анизотропного рассеяния (Eiaiti — тензор) и в случае, когда невозможно разделить колебания на продольные и поперечные, в процессе взаимодействия играют роль и поперечные фононы.
Матричный элемент возмущения ЖаКі входящий в (11.22), в силу (11.20), можно представить в виде
<kw;;-1 ж« IkAV =
2 (qe,) i<k' I ехр (iqr) I k> (Ntqj I b} (q) | Ngj> -
* qj=l,2,3
—¦ <k' I exp (—iqr) I k> (Nqj| b* (q) | Nqj}}. (11.28)
Матричный элемент относительно квантовых состояний электрона, вообще говоря, надо вычислить на основе волновых функций Блоха (1.15). Однако пока мы здесь будем использовать для электрона проводимости плоскую волну*) (10.18). Тогда получим
|ехр(± iqr) I к> = (11.29)
Для вычисления интегралов по нормальным координатам решетки в (11.28) можно использовать известные рекуррентнвіе соотношения для осцилляторных функций
(? + ЩЇЇШ-) <**> = |/Щ®"*'^' (11.30)
*) Учет блоховских функций обсуждается в § 12.
166 ^ - ч (* % д * \ Г 2R
ЩТЇ) дХ~) ^nV W = ]/ ЛЩЇ) + *)
(11.31)
Используя эти соотношения с учетом (11.11), а также условия ортонормированности осцилляторных функций, для нужных матричных элементов получим
I h (q) \ Nqjy = 1/2? Sw^1 П bNfqljf,Nqry, (11.32)
УФІ „
<%іиюі».,> - ('«з)
Подставляя (11.28) в (11.22) с учетом последних двух формул и суммируя по Nqj, согласно (11.23), получим для вероятности перехода электрона из состояния к в состояпие к' благодаря взаимодействию с акустическими фононами следующее окончательное выражение:
^а„(к, к') = 2 (q) Utk'
(q) + ^kk' (q)), (11.34)
q
где
Aik' (q) = (iVq + -J =F I") б (єк, - єк + Йш (q)) 6k'ik±q, (11.35)
а
nEh2
"М-тшкт- (11-36),
со (q) —частота продольных акустических фононов; при этом мы учли, что Cj — единичный вектор и (qe,-) = q.
Первое слагаемое в правой части выражения (11.34) есть вероятность перехода к ->¦ к' из-за поглощения фононов, а второе — из-за испускания фононов; б-функции и 6-символы, Входящие в (11.34), выражают законы сохранения энергии и импульса, соответственно,
ek' = єк ± йю (q), к' = к ± q. (11.37)
Видно, что рассеяние на акустических фононах, вообще говоря, неупруго. Однако покажем, что при не очень низких температурах этот процесс носит упругий характер. Для этого, используя (11.5) и закон сохранения импульса (Jf=Ik'-kl, оценим отношение
• ' (11.3?
где мьі дхредположили, что Tilk' — k|« YmktT1 е* » к0Т; в (11.38)
' - ' . . Ш T0 = mvl/k0, v0 — скорость звука в кристалле, т — эффективная масса носителей заряда.
