Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
/(k) = /о (k) — er (к) (vE0) (—dfo/de). (9.24)
Для невырожденных полупроводников /о (є) = ехр( (? — е)/к0Т), и из (9.24) получаем явный вид условия малости отклонения (9.5), т. е.
TeE0« к0Т, (9.25)
где l = vт — средняя, длина свободного пробега.
Из (9.25) видно, что энергия, получаемая электроном от электрического поля на длине свободного пробега, должна быть намного меньше, чем средняя тепловая энергия к0Т, чтобы выполнялось линейное по E0 приближение или неравновесная добавка /і < /0. Сравнение (9.25) с условием применимости кинетического уравнения (8.16) показывает, что поле, при котором справедливо линейное приближение, в к/Т раз должно быть слабее. Поскольку в невырожденных полупроводниках к/Т ^ Ю-1, то линейное приближение справедливо до довольно больших полей E0 « IO4 В/см.
Учитывая к0Т ~ mv2, условие (9.25) можно переписать в виде
ViCv, (9.26)
где Vi = (CxZm)E0 — дрейфовая, v — средняя тепловая скорости электронов.
В сильно вырожденных полупроводниках вместо (9.25), (9.26) и (9.24) получаем следующие неравенства:
I(Z)еЕ„ < % или Vi« v(l), (9.27)
где I(Z) == x(Z)v(Z)—длина свободного пробега электронов на границе Ферми ?, Vi=Iex(Z) Zm(t,))E0 — дрейфовая скорость, v(Z) — скорость электронов на поверхности Ферми.
82 . ' , Теперь рассмотрим условия, налагаемые на градиент температуры. При наличии градиента температуры из (9.15) и (9.16) получим
/(k) = /0(k)-T(A)-^(vVr)(-^-). (9.28)
Для невырожденных полупроводников (9.28) и (9.5)- даю г следующее неравенство, определяющее условие применимости линейного приближения решения по градиенту температуры*):
--1
-кот
/jvr|< Т. (9.29)
Поскольку в невырожденных полупроводниках обычно I (?,/к0Т)— 1 j ~ 10, то можно сказать, что для выполнения условия малости отклонения от равновесного распределения (9.5) изменение температуры на длине —10? должно быть намного меньше, чем сама температура Т. ¦
В заключение этого пункта, следуя [9, 10], продемонстрируем отличие стационарного распределения от равновесного распределения в k-пространстве. Для этого решение (9.15) представим в виде
/(к) = /»(к)-^Ф,(е)(§). (9.30)
Отдельно рассмотрим действие электрического поля и градиента температуры. При наличии электрического поля Фо — —еЕ„ и, согласно (9.30),. стационарное распределение /(к) связано с равновесным распределением следующим образом:
/(к) = /о(к) + ^eE0 (-^) (9.31)
или же
' /(к)«/0(к + ^-еЕ0) = /0(к-Дк). (9.32)
Видно, что стационарное распределение /(к) тождественно равновесному распределению /о.(к), только начало координат в k-пространстве сдвинуто из точки k = 0 в точку k = Дк = — теЕ0/%. Схематически /(к) и /о(к) показаны на рис. 16 в случае вырожденного электронного газа. Этот результат понятен с точки зрения влияния электрического поля на каждое квантовое состояние. Действительно, из (1.9) следует, что скорость изменения к под действием силы F =¦ —сЕ0 одинакова для всех электронов. Поэтому распределение в k-пространстве, не меняя свою форму, в поле будет перемещаться с постоянной скоростью dkZdt = —еЕ0/Ъ. Однако процессы рассеяния, которые стараются
*) Ср. с условием применимости самого кинетического уравнения (8.18). •
6» 83 вернуть систему в состояние равновесия, ограничивают это перемещение величиной Дк = —еЕ0т/Ъ и устанавливают стационарное — не зависящее от времени — распределение электронов в к-пространстве (штриховая линия на рис. 16," а). Стационарное распределение /(к), как видно из рис. 16, в отличие от равновесного распределения /0 (k), относительно точки k = О несимметрично.
т \kf0 (к)
a^--Tl к
f(k)kf0(k)
-к -кп
VT-
к
Рис. 16. Равновесная (сплошная линия) и неравновесная, но стационарная (штриховая линия) функции распределения «для вырожденного электронного газа в k-пространстве: а) при наличии электрического поля; б) при наличии градиента температуры
Поэтому это состояние соответствует конечному постоянному току в проводнике.
Однако отметим, что средняя энергия системы, электронов в стационарном состоянии равна энергии в равновесном состоянии. На самом деле, используя (9.31), имеем
Je(k)/(k)dk=*Je(k)/0(k)dk,
(9.33)
так как є (к) есть четная функция к, второе слагаемое (9.31) не дает вклада в интеграл (9.33). Физически это связано с тем, что электроны, движущиеся в направлении электрического поля, ускоряясь, уменьшают (из-за отрицательного заряда) свой волновой вектор на величину Дк, на такую же величину увеличивают свой к электроны, движущиеся против поля (см. рис. 16, а). Поскольку є (к) является четной функцией к, то в среднем энергия системы электронов не меняется.
При наличии градиента температуры Ф0(е) = — ((є — %)/Т) VT и, согласно (9.30), стационарное распределение
/(к) = /„¦(*) +
(е-Рт(?) VT % T
m
которое можно представить в виде
где
Ak = -^??! WT.
(9.34)
(9.35)
(9.36)
84 В случае вырожденного электронного газа с параболическим законом дисперсии ? =^ ft2Aj5/2m. (при учете формулы є = Ъ2к2/2т) из (9.36) имеем
