Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
т > Tifk0T, (8.24)
которое есть условие малости продолжительности столкновения по сравнению со временем между двумя последовательными столкновениями.
Поскольку подвижность носителей тока и = ет/тп, то крите-1 рий (8.24) можно представить в следующем виде:
и > eTifmk0T. (8.25)
Указанное условие хорошо выполняется для шйрокого класса полупроводников, за исключением веществ с аномально малой подвижностью носителей тока.
Критерий (8.24) можно записать и в другом виде. Если умножить обе его части на среднюю скорость носителей тока v и учесть, что 'k0T/v = р, a Tifp то получим
ЇЖ, - ¦ (8.26)
где l = vт — средняя длина свободного пробега. Тогда можно
77 утверждать, что кинетическое уравнение применимо, если средняя длина свободного пробега носителей тока намного больше их длины волны де Бройля.
§ 9. Решение кинетического уравнения
для, произвольной сферически-симметричной зоны
в приближении времени релаксации
, Рассмотрим полупроводник с произвольной сферически-симметричной зоной, т. е. предположим, что энергия носителей тока є является произвольной функцией модуля волнового вектора к, т. е.
в (Ase, ку, kz) = e(k). (9.1)
Этим свойством обладает закон дисперсии электронов проводимости во многих полупроводниковых соединениях, таких как A111Bv и A11Bvi (см. § 3).
1. Время релаксации. Сначала преобразуем столкновительный член кинетического уравнения (8.11). Используем для этого принцип детального равновесия, согласно которому в состоянии равновесия, когда /(к, г) = /0(к), число приходящих электронов в k-состояние из к'-состояния равно числу уходящих из к- в к'-состояние за единицу времени, т. е.
W(к', к)/„(к')[1-/„(к)] = Ж(к, к')/о(к)[1-/„(к')]. (9.2)
Используя явный вид для функции распределения Ферми — Дирака (4.1), из (9.2) получим
W (k', к) . ' / є (k') - E (к) \ /п оч
- -—- = ехр ' т . (9.3)
¦ W (к, к') ^ к0Т
При 8 (к)<8 (к'), как видно из (9.3), Ж(к,* к')< Ж(к', к), т. е. рассеяние к ->- к' с увеличением энергии менее вероятно, чем с уменьшением ее. Меньшую вероятность перехода из co-" стояний с малой энергией компенсирует большая их заселенность /о(к), что обеспечивает детальное равновесие.
• Решение кинетического уравнения (8.11) представим в виде
/(к) =/„ (к)+ /,(к), (9.4)
где /о (к) =/о (є (к))—равновесная функция (4.1), а Д (к)—Неравновесная добавка, подлежащая определению. Очевидно, Д(к) является нечетной функцией к, тогда как /0(к) есть четная функция к. Кроме того, Д (к) должна быть пропорциональна электрическому полю и градиенту температуры, так как эти силы приводят к отклонению от равновесного распределения электронов проводимости в к-пространстве.
Почти во всех реальных случаях отклонение от равновесия мало, т. е.
1/,1 = 1/-ZoI «/о. (9.5)
78 ' ' При отсутствии квантования, когда имеет место неравенство (8.22), вероятность перехода W(k, к') от магнитного поля не зависит. Разумно предположить, что эта функция не зависит также от электрического поля и градиента температуры, т. ^e. И7(к, к') —одна и та же величина как в равновесном, так и в неравновесном состоянии. Тогда можно воспользоваться соотношением детального равновесия (9.2) при преобразовании члена рассеяния (8.10) в кинетическом уравнении."
Подставим (9.4) в (8.10) и используем (9.2). Учитывая (9.5), ограничимся линейными по Д (к) членами. В результате получим
(df/dt) расо =-Л (к)/т (к), (9.6)
где введено обозначение
-L--Vwtк fc')}1-^ Ue) (97)
X (Л) ^(к'к)\1-/0(е) /0(е') Z1 (к) J- Iy-''
Величина T (к) носит название времени релаксации, смысл которого можно выяснить следующим образом. Допустим, что система электронов проводимости выведена из равновесия внешними силами. Если в момент времени t = 0 выключить внешнее поле .Е = 0 и аннулировать градиент температуры Vr/ = 0, то неравновесная функция /(k, t) будет стремиться к равновесной /о(к). При этом /(к, t) удовлетворяет уравнению
,а/(к,*) , -/(Ь, t) — / (к) —ft-+-ЇТк)-- = 0' (9-8)
которое получается из (8.9) с учетом (9.6).
Из (9.8) имеем следующий закон изменения, неравновесной функции:
(/ - /о)« = (/ - /о)«-. ехр (-t/%). (9.9)
Отсюда видно, что время релаксации т характеризует скорость восстановления равновесного состояния.
Подставляя (9.6) в правую часть (8.11), получим следующий простой вид кинетического уравнения:-
V (k) Vr/ - ? (E0 + 4 К (к) H]) Vk/ = - (9.10)
Таким образом, введением понятия времени релаксации интег-ро-дифференциальное уравнение (8.11) мы формально свели к дифференциальному уравнению (9.10) для неравновесной функции распределения /. Однако в общем случае это • видимое упрощение кинетического уравнения (8.11). Действительно, в правую часть (9.10) через т(к) (9.7) под знаком суммы (интеграла) входит отношение двух: значений неизвестной функции /t. В том случае, когда отношение /^k')//! (к) не зависит ни от типа, ни от величины возмущения (электрического поля или градиента температуры), вызывающего отклонение функции распределения
V 79 от равновесной, величина т(к) является характеристикой проводника и имеет разумный физический смысл.
