Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
2. Решение кинетического уравнения в отсутствие магнитного поля. В этом случае (9.10) имеет вид
v(k)Vr/-eE0/BVk/ = -(/-/0)/T(k), ^ (9.11)
из которого легко можно найти неравновесную функцию, если считать, что т(к) не зависит от электрического поля и градиента температуры. Для этого подставим (9.4) в (9.11) и в левой части ограничимся функцией /о(к), предполагая, что при наличии градиента температуры равновесная функция /о (к) определяется локальной температурой Т(т) и химическим потенциалом ? (г), т. е.
(9.12)
Учитывая, что
УкП(к) = (ди/де)де(к)/дк = (д10/де)Ы(к) (9.13)
и
Vr/0 (к, г) = к0Т (dfjde) Vr ((є - ? (г ))/к0Т (г)), (9.14)
в результате для неравновесной, но стационарной функции распределения /(к) в линейном приближении по электрическому полю и градиенту температуры получим следующее выражение:
/(к) = /„(к) - т(к) (у(к)Фо(е)) (ди/дг),. (9.15)
где
Ф0 (є) = т еЕ0 + A0T7Vr = - еЕ - ^ k0VT (9.16)
— обобщенная возмущающая сила (динамическая и статистическая), вызывающая отклонение от равновесного распределения, в которой E = E0 + (1/е) = —v (фо — (?/е))—градиент электрохимического потенциала, ф0 — электростатический потенциал.
Теперь вернемся к выражению для времени релаксации. Подстановка (9.15) в (9.7) с учетом
/„(е)(1-/о(е) ) = -(1 /к0Т) (dfjde) (9.17)
дает следующее интегральное уравнение для определения величины т (k):
т (к) -Aw^*) 1_/о(е) J1 T (к) (у(к).Ф0(е)) ]• (УЛ0)
Поскольку мы рассматриваем сферически-симметричные зоны, то рассеяние должно быть изотропным, т. е. вероятность перехода И7(к, к') не зависит от к и к' в отдельности, а зависит только от величины к и к' и угла между ними, т. е.
"TF(к, k')=W(k, к', (кк')). (9.19)
80 V » При изотропном рассеянии, очевидно, время релаксации т будет зависеть только от величины ft —Ikl. Кроме того, для изотропного закона дисперсии (9.1) направления скорости электрона V и волнового вектора к совпадают и, согласно (1.8),
V(k) = ^, (9.20)
где тп(к) —эффективная масса электрона (1.12).
Учтем эти следствия изотропности зоны и в (9.18) перейдем к сферическим координатам. Если полярную ось направим вдоль к и полярные углы векторов к' и Ф0(е') обозначим соответственно через (0, ф) и (а, ?), то, как известно,
cos(k', Фо(є')) = cos 0 cos a + sin 0 sin асоэ(ф — ?). (9.21)
Тогда из (9.18) легко получим
-L- = У W(\c 1 ~/о /і т {к,) (v (k) Ф° (е'}) v (k) v (k' T (к) fi ^k' kM _/0(e) I1 г(А) (у(к)Ф0(е)) „г(к)
(9.22)
Отметим, что это интегральное соотношение, из которого в принципе можно определить т(к), получено в двух предположениях: малость отклонения от равновесного распределения (9.5) и изотропность закона дисперсии (9.1). Однако (9.22) является неудобным соотношением, так как оно содержит возмущающую равновесие силу Ф0(е) (электрическое поле E и градиент температуры VT) (9.16). Следовательно, %(к), найденное из (9.21), не будет универсальным, а будет зависеть от типа и величины возмущения (Е и VT). Поэтому необходимо сделать еще одно допущение. Это относится к характеру рассеяния. Если предположить, что рассеяние носителей тока на дефектах решетки чисто упругое e(k') = e(ft), следовательно, к = к', т. е. носители тока при рассеянии с решеткой обмениваются только Импульсами, то (9.22) сильно упрощается и %(к) становится универсальной функцией, характеризующей релаксацию системы. В этом случае скорость релаксации, т. е. т~*{к), не зависит от того, какая сила;(Е или V?1) отклонила распределение от равновесного, а характеризует сам проводник. Учитывая упругость рассеяния є' = є, а также (9.21), из (9.22) получим простое выражение для времени релаксации *)
1 (9.23)
T(A)
*) Отмечрм, что время релаксации можно ввести и в случае неупруго-
го рассеяния, если вероятность перехода удовлетворяет условию
¦W(k, k') == W7(к, —к'), что имеет место при рассеянии на неполярных
оптических фононах без учета дисперсии (см. § 11, п. 3). Этот вывод нет
посредственно следует из (9.22).
6 б. м. Аскеров 81 Это простое выражение для времени релаксации справедливо при выполнении трех условий: малости отклонения от равновесия (9.5), изотропности спеКтра (9.1) и рассеяния (9.19), а также упругости рассеяния е' = є. В тех случаях, когда одновременно выполняются эти условия, нахождение неравновесной функции распределения сводится к двум самостоятельным задачам: вычислению т(ft) из (9.23) и решению дифференциального кинетического уравнения (9.10).
- Расчету т (ft) для различных механизмов рассеяния будут посвящены § 10 и И. Здесь же мы приведем решение кинетического уравнения (9.10) в приближении времени релаксации.
При отсутствии магнитного поля (H = O) решение кинетического уравнения (9.10) мы нашли. Оно имеет вид (9.15). Прежде чем перейти к решению (9.10) в магнитном поле, используя (9.15), мы найдем ограничения, налагаемые на , электрическое поле и градиент температуры, для выполнения линейного приближения или условия малости отклонения функции распределения /(к) от равновесной /0(к). Из (9.15) и (&.16) только в электрическом поле имеем
