Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая т « Ю-28 г, v0 = 3 • IO5 см/с, получим t0 « 1 К. Таким образом, при Г > T0 A 1 К энергия поглощаемого и испуска1-емого фонона пренебрежимо мала по сравнению с энёргией носителей заряда и рассеяние почти упруго. Поэтому при вычислениях, где возможно, мы можем считать Й«а(?)<еА и пренебречь энергией фонона.
В случае . вырожденного электронного газа еА«и отношение
« (TV^bip)1/2 << 1, (11.39)
где TBbiP = SFZ^o -TeMnepaTypa вырояедения электронов проводимости. Таким образом, как для невырожденных, так и для вырожденных цолупроводников неупругостыо рассеяния можно пренебречь. Кроме того, как видно из (11.38), Й«а (q) < к0т, и поэтому можно разложить функцию Планка. Тогда
nq + 1. » nq » кош<а (q) = kj/%v0q. (11.40)
Поскольку рассеяние электрона на акустических фононах является упругим, то в аргументах б-функций в (11.35) можно пренебречь энергией фонона. Тогда с учетом (11.36) и (11.40) из (11.34), после тривиального суммирования по q с помощью законов сохранения импульса, для вероятности перехода к -*¦ к' при рассеянии на акустических фононах получим простое выражение
•>п E?
wuk(к, к') = ^l-lk0to(ek,-bk). (11.41)
Теперь можно подставить (11.41) в (9.23) и вычислить время релаксации
' (11.42)
Отсюда видно, что при суммировании по к' второй член дает нуль. Следовательно, в упругом приближении и при выполнении (11.40) приход в к-состояпие из всевозможных к'-состояний в процессе релаксации не играет роли.
В дальнейшем рассмотрим, так же как и в [27], произвольную изотропную, т. е. сферически-симметричную зону (9.1) и в (11.42) от суммы по к', согласно (2.15), перейдем к интегралу. Если в полученном интеграле элементы объема в k'-пространстве записать в сферической системе координат, то интеграл По углам Дает 4л, а интеграл по величине к' можно взять с по-
1^8 -
108 мощью o-функций. В результате для времени релаксации получим выражение *)
где р = MN/V — плотность кристалла.
В случае стандартной зоны &к = Ъ2кг/2тп и из (11.43) следует известная формула
Slrfer"' - (11-44)
из которой видно, что время релаксации носителей заряда на акустических фононах т ~ 7,~"1е~1/2.
Используя определение эффективной массы (1.12) и скорости V = (1/?) (дг/дк), из (11.43) получим длину свободного пробега электронов проводимости в полупроводниках с произвольной изотропной зоной, определяемую рассеянием на акустических фононах:
Е\к0Т т2 (е) Отсюда видно, что в общем
случае нестандартной зоны I^k от энергии зависит через т. е. в вырожденных полупровод-
никах с непараболическим законом в случае рассеяния на акустических фононах ZaK должна: уменьшаться с ростом концентрации свободных носителей. Длина свободного пробега от энергии не зависит только для параболической зоны, когда m(s)->-mn. В этом случае можно оценить I и сравнить ее с постоянной решетки а. Действительно, если в (11.45) заменить т(г) на тп, учесть, что р = М/Q0 = Mla31 то для стандартной зоны ZaK можно представить в виде
Непосредственная оценка (11.46) показывает, что ZaK»а. То, что длина свободного пробега намного превышает постоянную решетки, связано с квантовой природой движения носителей заряда.
- Рассеяние на акустических колебаниях решетки имеет место во всех кристаллах независимо от сложности элементарной ячейки. Однако, если кристалл имеет простую решетку (один атом
*) Отметим, что примененный здесь порядок суммирования, т. е. сначала по q в (11.34) с использованием законов сохранения иинульса, а затем по к' в (11.42) с помощью закона сохранения энергии, значительно упрощает расчет т (Ze)1 и' не нужно заботиться о пределах интегрирования но волновому вектору фотона dq.
109 в элементарной ячейке), то рассеяние на акустических колебаниях является единственным механизмом взаимодействия носителей заряда с решеткой. В тех кристаллах, у которых решетка сложна — на элементарную ячейку приходится два или больше атомов или ионов, помимо рассеяния на акустических колебаниях существуют и другие, иногда более важные, чем акустическое рассеяние, механизмы взаимодействия носителей заряда с решеткой. К ним относится рассеяние на оптических и пьезоэлектрических колебаниях решетки. На этих механизмах рассеяния остановимся отдельно.
3. Рассеяние на неполярных оптических фононах; метод потенциала деформации. Известно, что при длинноволновых оптических колебаниях [q -»- 0) атомы в элементарной ячейке колеблются почти протнвофазно, так что центр тяжести остается неподвижным. Поэтому деформация кристалла и соответственно изменение краев зоны, т. е. энергия взаимодействия, в этом случае будет пропорциональна смещению любого из атомов в элементарной ячейке (11.24). Следовательно, оператор взаимодействия носителей заряда с оптическими колебаниями решетки можно представить в виде [5]
3«
Жлт = 2 AjUj, (11.47)
3=4
где Uj — смещение, соответствующее /-й ветви, Aj — некоторый постоянный вектор, который определяется симметрией расположения минимумов энергетической зоны носителей заряда.
Например, было показано [28], что для n-Si вектор Ai = 0, а для n-Ge он отличен от нуля. При A3 = O в (11.47) надо включить слагаемые с производными типа (11.26).
