Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Вероятность перехода. Нахождение вероятности перехода является задачей квантовой теории рассеяния. Она решается на основе метода. пестациопарной теории возмущения [8]. Общий
89 л „
гамильтониан электрона в реальной решетке представим в виде
= Ж + (10.1)
где Ж- описывает взаимодействие электрона с примесями (дефектами) или с фононами, которое считается малым возмущением; невозмущенный гамильтониан 96 в случае рассеяния на примесях представляет собой гамильтониан электрона в идеальной решетке (1.4), а в случае рассеяния на фононах 96 включает в себя также и гамильтониан идеального фононного газа, не взаимодействующего с электроном.
Предположим, что стационарное решение невозмущенной задачи с гамильтонианом Ж есть
' Тп(г) = ^ехр(-гепг/В), (10.2)
причем г|)„ и гп — собственные функции и собственные значения уравнения
Жф„=еп%, (10.3)
где п обозначает совокупность дискретных и квазидискретных квантовых чисел, определяющих состояния электрона в идеальной решетке (рассеяние на примесях) или электрона и фононного газа (рассеяние на фононах)*).
Для того чтобы найти решение возмущенной задачи с гамильтонианом (10.1), следует исходить из общего уравнения Шредингера
яда _ ^
іП^-1 + Ж) Wt. (10.4)
Разложим vFtM по собственным функциям (10.2) невозмущенной задачи с гамильтонианом Ж:
Tt (г) = 2 ап (г) г|з„ ехр (— ient/%). (10.5)
п
Подставим (10.5) в (10.4) и учтем (10.3). Полученное уравнение слева умножим на ijv и проинтегрируем по всему объему кристалла**). Если воспользоваться ортонормированностью т|зл, то получим следующую систему уравнений для ¦коэффициентов разложения:- "
= (10.6)
где OVn = (En/ — е„)/Й, а _ •
(n' J M' I п) = J Ж'^ndt (10.7)
*) Содержание п, следовательно, ij> будем конкретизировать в
каждом отдельном случае.
**) В случае рассеяния на фононах интеграл берется как по координатам носителей, заряда, так и по всем нормальным координатам, колебаний решетки (см. § 11).
90 - — матричный элемент возмущения, вычисленный на известных невозмущенных волновых функциях уравнения (10.3).
Система уравнений (10.6), которая эквивалентна исходному уравнению Шредингера (10.4), в принципе дает возможность определить аП' (t), если известны решения невозмущенной задачи (10.3) и величина возмущения Ж'. Согласно квантовой ..механике I anr (t) [2 представляет собой вероятность обнаружить систему в момент времени t в состоянии Tl'. Поэтому в любой момент времени S I ап' (О |2 = 1.
71'
Для произвольного возмущения получить точное решение системы- (40.6) трудпо. Можно ее решить приближенно, считая возмущение малым: Ж <Ж. Для этого коэффициент an(t) представим в виде степенного ряда по степеням Ж':
ап = a<n0) + ^ + ^ + . .. (10.8)
Подставляя (10.8) в (10.6), систему можно решать итерацией. Допустим, что до момента включения возмущения система находилась в определенном квантовом состоянии п. Тогда, если возмущение начинает действовать при t^0, то 1Ft^ =? O^ = г|>„. Это означает, что коэффициент в нулевом приближении только для данного п, а для всех других значений индекса равен нулю. Подстановка я(п0) = 1 в правую часть (10.6) дает простое уравнение для Интегрируя это уравнение, получим
t
¦<4V (*) = -i- j (n' IЖ И ехр (ЇС0n,nt') dt'. (10.9)
о
Используя это выражение в правой части (10.6), можно определить коэффициенты второго порядка (t) и т. д. Однако мы ограничимся первым приближением (JL0.9).
Если за время действия возмущение Ж' остается постоянным, то матричный элемент в (10.9) можно вынести за знак интеграла. Тогда из (10.9) легко получаем
аУ(і) = (п'\Ж\ті) '-0^(iaW) • ' (10-1°)
Таким образом, в первом приближении теории возмущепия вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии п, равна
I & (012 = |К| & I п) I2 2(1 ^rrvn0 • (10-И)
% К'п
' " I
В начальный момент t = 0 система находилась в состоянии п, затем благодаря
действию возмущения 2f? в момент времени t она оказалась в состоянии п с вероятностью (10.11). Тогда,
91 дифференцируя (10.11), для вероятности перехода п->-ге' за единицу времени получим
4 W(n, п')=\(п'\Ж\п)\^Г^\ (10.12)
- ' % 0Vn
В последнем выражении t есть время, прошедшее после начала действия возмущения Ж'. Это время надо взять достаточно большим, чтобы процесс рассеяния полностью завершился. Тогда, учитывая известную асимптотику для б-функции
=JtS(C0^n) =яйб(єп, — єп), (10.13)
t-* oo "'п'п
из (10.12) для вероятности перехода за единицу времени окончательно получим *)
W (п, п') = ~ I (n' І Ж I в) I2 б (е„/ - Sn). (Ю. 14)
Эта формула лежит в основе теории рассеяния носителей тока и тем самым теории явлений переноса в полупроводниках. По-этрму еще раз отметим условия, при которых получена (10.14).
Во-первых, формула (10.14) получена в первом порядке теории возмущения, что налагает на величину возмущения условие Ж Ж. Это соответствует борновскому приближению в теории рассеяния.
Во-вторых, время действия возмущения должно быть намного меньше, чем время между двумя последовательными включениями возмущения, т. е. время рассеяния At < т, где т — время свободного пробега (или время релаксации). Только при выполнении этого условия в (10.12) t можно стремить к бесконечности и воспользоваться асимптотикой (10.13). Это обстоятельство мы уже использовали для определения условия применимости кинетического уравнения (8.24).
