Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ak = -^-(A8-AS)Vr; (9.37)
здесь т — эффективная масса электрона проводимости, к0 — волновой вектор электрона на поверхности Ферми.
Функция (9.35) формально похожа на (9.32). Однако, в отличие от электрического поля, при наличии температурного градиента смещение Ak стационарного распределения относительно равновесного распределения /о (к) зависит от величины к. В частности, для к = к0 Ak = O и /(к0) =/о(к0). Для электронов, у которых к > к0, смещение распределения Ak < 0, если электрон движется вдоль градиента температуры VT, и Ak >0, если электрон движется против VT, и, наоборот, для электронов с волновым вектором к < к0 смещение Ak > 0 при движении вдоль градиента и Ak < 0, если электроны движутся против VT. Схематически равновесное /0(к) и стационарное /(к) распределения вырожденного электронного газа при наличии градиента температуры показаны на рис. 16, б. Как видно из этого рисунка, при наличии градиента температуры ширина размытия границы Ферми в распределении электронов, движущихся против VT, становится больше (левая часть рис. 16, б), для электронов, движущихся вдоль VT, ширина размытия границы Ферми меньше (правая часть рис. 16, б), чем ширина без градиента температуры, одинаковой для всех электронов.
Этот результат можно понять из следующих наглядных соображений. Электрон в кристалле, находящийся в точке г и движущийся в направлении увеличения температуры (в направлении VT), должен был бы испытать свое последнее столкновение в точке, где температура меньше T (г) на величину т\VT. Отсюда следует, что ширина распределения для указанных электронов будет относительно меньшей. Аналогично, электроны в точке г, движущиеся против VT, должны претерпеть последнее столкновение нри более высокой температуре. Поэтому ширина распределения для этих электронов должна быть больше средней ширины.
Таким образом, градиент температуры нарушает симметричное распределение электронов относительно точки k = 0 (см. рис. 16, б) и тем самым вызывает конечный электрический ток, пропорциональный VT.
Отметим, что только для вырожденного электронного газа, как видно из рис. 16, характеры отклонения распределения от равновесного различны в зависимости or того, чем эти .отклонения вызваны — электрическим полем или градиентом температу-' ры. Когда электронный газ невырожден, (є — ?)>0. Поэтому, как видно из (9.32) и (9.35), в этом случае, в отличие от вырожденного случая, смещение стационарного распределения электро-
85 нов относительно равновесного носит одинаковый характер при возмущении электрическим полем и температурным градиентом: в обоих случаях смещение происходит в противоположном направлении действия E0 и VT (рис. 17).
3. Решение кинетического уравнения в произвольном некван-тующем магнитном поле. Мы показали, что в отсутствие магнитного поля в т-приближении решение кинетического уравнения (9.10) имеет вид (9.15). В этом решении вектор Ф0(е) имеет
явный физический смысл: обобщенная сила, возмущающая равновесное распределение электронов в k-пространстве. Очевидно, что в магнитном поле H эта сила будет другой*). Измененную магнитным полем силу возмущения обозначим через Ф(є) = Ф(є, E0, VT, Н). Тогда общее решение уравнения (9.10) будет иметь вид
/(к) = /„ (к) - т (к) (v_(k) Ф (е)) (ди/дг).
(9.38)
Рис. 17. Равновесная (сплошная линия) и стационарная (штриховая линия) функции распределения длй невырожденного электронного газа в k-пространстве
Таким образом, задача сводится к нахождению возмущающей силы Ф(е) в магнитном поле. Для этого (9.38) подставим в уравнейие (9.10) и учтем, что в членах Vr/ и E0Vk/ можно ограничиться равновесной функцией, а в члене, содержащем магнитное поле [vH], необходимо оставить неравновесную добавку, так как, согласно (9.13), в нулевом приближении этот член тождествен нулю. В результате в первом неисчезающем приближении для Ф(є) получим следующее уравнение:
(vo0) + Ti ivh] vk (туф) = (уф),
где Ф0 дается (9.16).
Для решения уравнения (9.39) удобно ввести вектор
.Р(в)=т(Л)Ф(е),
(9.39)
(9.40)
имеющии смысл импульса возмущающей силы, в магнитном поле. Тогда P(є) будет удовлетворять уравнению
О*»«)'+ 4-с [vH] Vk (vP) == (vP).
(9.41)
Преобразуем выражение Vk'(vP (є)), используя известную формулу векторного анализа
Vk (vP) = (PVk) V + (vVk) P + [V rot PJ.+ [Р rot V]. (9.42)
*) В (9.15) ни время релаксации т(е), ни г(к), следовательно, у (к) от магнитного поля не зависят, так как магнитное поле является некван-тующим.
86 Последний, член в (9.42)" выпадает, так как rotv=? = (l/ft)rot grad є (k) = Oil Известно, что в случае сферически-симметричной зоны скорость V направлена по вектору к и дается выражением (9.20). Учитывая это, легко показать, что первый член правой части (9.42)
. (PVk)V-H^-J (^) (kP) V+ (9.43)
Непосредственным вычислением можно показать, что (vVk) P + [V rot Р] = (кх ку 9Iv + кг dIA JL у. (9.44)
V дв •де де J т (в)
Подставляя (9.43) и (9.44) в (9.41) и учитывая, что все члены, содержащие скорость v, при скалярном умножении на [vH] дают нуль, получим уравнение
