Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
.74 ' • ¦ длины дебройлевской волны частиц А, малы но сравнению с размерами L, характерными для данной задачи, -i. е. А, < L. Если система не свободна, а на нее действует некоторая сила F, то условие квазиклассичности имеет вид [7]
(К/2к)ЫК/йх\ < А,, (8.12),
т. ё. длина волны электрона К должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Учитывая, что K = h/p(x), где h — постоянная Планка, р (х) — импульс электрона, условие квазиклассичности (8.12). может быть записано [7] как
(mh/p3)lFl<l; (8.13)'
здесь т — эффективная масса электрона проводимости, F — сила, действующая на электрон. В общем случае, когда имеются динамическое (электрическое поле) и статистическое (градиент температуры или концентрации) возмущения, сила F определяется градиентом электрохимического потенциала:
F = eV((jp0_e/e), (8.14)
где фо — электростатический, а ? — химический потенциалы.
С учетом соотношений h/p = K и р1 ~ те (8.13) ^превращается в условие применимости кинетического уравнения в общем виде
XlFI < г, (8.15)
имеющее явный физический смысл: энергия, приобретенная электроном благодаря действию возмущающей силы F на расстоянии К, должна быть намного меньше средней энергии электрона Є.
Из (8.15) для электрического поля E0 легко получим условие
KeE0Ce, (8.16)
при котором применимо кинетическое уравнение. В невырожденных полупроводниках є « к0Т, а в вырожденных полупроводниках є » При T = 100 К и К = IO-7 см для невырожденных полупроводников из (8.16) получим E0 < IO5 В/см. Таким образом, кинетическое уравнение справедливо вплоть до очень сильных электрических полей.
Условие (8.15) с учетом (8Л4) в случае неоднородных полупроводников определяет также и градиент химического потенциала
(д%/дх)К<г, (8.17)
при котором справедливо кинетическое уравнение. Если неоднородность связана с наличием градиента температуры, то (8.17) имеет вид
(дУдТ)№Т<ё. (8.17');
- - 75 Находя д%/дТ из (4.46), а также из (4.26), соответственно получим для невырожденного электронного газа
\UktT-3/2\WT\ <Г (8.18)
и для вырожденного электронного газа.
(k0T/t,F)X\VT\ < T0, - (8.19)
где T0 = t,p/k0 — температура вырождения электронного газа. Условия, аналогичные (В.17) — (8.19), из (8.17) можно получить также и для градиента концентрации Vn.
у Теперь рассмотрим ограничения, налагаемые на величину напряженности магнитного поля Н, для применения кинетического уравнения. Как известно, в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца F = (e/c)vj_H электрон движется по винтовой линии с осью, параллельной магнитному полю, и с радиусом
г = vjQ, (8.20)
где v± — составляющая скорости в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, а
Q = еН/тпс (8.21)
— циклическая частота вращения электрона в этой плоскости, которую называют циклотронной частотой, тп — эффективная масса электрона.
Подставляя силу Лоренца F = (e/c)v±H в общее условие (8.15) и учитывая Я ~ TiZmv1., получим критерий применимости кинетического уравнения в магнитном поле для невырожденных полупроводников
Ш < к0Т или еЪН/тпс « к0Т ' (8.22) -
и для вырожденных полупроводников
HQctsP или еЪН/тс < %р. (8.23)
Легко видеть, что эти условия могут быть переписаны и в виде
г Ж. (8.22')
В случае вырожденных полупроводников в (8.22') Я следует заменить длиной волны для электронов на поверхности Ферми
Последнее неравенство есть не что иное, как условие квазиклассичности: кинетическое уравнение применимо в магнитных полях, при которых длина волны % намного меньше радиуса циклотронной орбиты электрона г.
Квантовомеханическое рассмотрение движения носителей тока в магнитном поле показывает, что их движение в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля, квантуется, причем энергетическое расстояние между соседними дискретными уровнями (уровнями Ландау) равно %Q (см. гл. 6). В магнитных полях, удовлетворяющих. (8.22) или (8.23), квантование спектра становится несущественным. Такие магнитные поля на-
я зываются классическими или неквантующими магнитными полями. В этой области магнитных полей при расчете кинетических эффектов можно применять кинетическое уравнение.
При достаточно сильных магнитных полях и низких температурах условия (8.22) и (8.23) могут не выполняться, а иметь место ^ к0Т ^ли TiQ ^ (то же самое, при г), и дискретность спектра становится важной. Такие магнитные поля называются квантующими. В квантующих магнитных полях кинетическое уравнение неприменимо^ и задачу следует решать методами квантовой теории явлений переноса (см. гл. 6).
Имеется еще одно условие, ограничивающее область применимости кинетического уравнения (8.11), связанное с процессом рассеяния носителей тока на различных дефектах решетки. Если через At обозначим продолжительность рассеяния (время столкновения с дефектами), то, согласно принципу неопределенности (AeAt^Ti), в энергии появляется неопределенность Дє S5 ^TifAt. Пользоваться функцией распределения, которая должна сильно меняться в интервале энергий порядка к0Т, можно только в том случае, если Ae < к0Т. Это означает, что длительность столкновения должна быть относительно большой: At > TifkaT. С другой стороны, время столкновения At не может быть слишком большим, так как при написании правой части кинетического уравнения. (8.11) предполагается, что взаимодействие носителей тока с кристаллической решеткой происходит в виде отдельных актов рассеяния с вероятностью W(к, к') и это взаимодействие не изменяет энергию электрона (носители тока в основном, в кристалле свободно движутся, изредка рассеиваясь на его дефектах). Поэтому At должно быть меньше, чем время свободного пробега т (время релаксации; см. § 9). В результате мы приходим к неравенству
