Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
df/dt = {dp dt) диф'ф + (df/dt) о„Ле + (df/dt) расс. (8.3)
Это и есть символическая запись кинетического уравнения, где , члены на правой стороне соответствуют скорости изменения за счет вышеуказанных процессов. Чтобы найти явный вид кинетического уравнения (8.3), рассмотрим эти процессы в отдельности.
При наличии градиента температуры или концентрации в проводнике имеет место диффузия, поэтому носители заряда приходят в область пространства вблизи точки г и уходят из'нее.
72 ' ' Нас интересует изменение концентрации электронов с волновым вектором к. Они обладают скоростью v(k) = A_1Vke(k). Концентрация таких k-электронов вблизи точки г в момент времени t есть /(к, г, t). Через промежуток времени At эти электроны будут находиться около точки г+ Ar с концентрацией /(к, г+ Ar, t + At). Согласно теореме Лиувилля об инвариантности фазового объема системы концентрация носителей тока в окрестности точки г в момент времени t -равна концентрации их в окрестности точки г+ Ar в момент времени t + At, т. е.
/(к, г, f) = /(k, г+ Ar, t + At). (8.4)
Разлагая правую часть около точки г, учитывая Ar = v(k)A? и стремив At -»- 0, для скорости изменения неравновесной функции распределения из-за диффузии получим
(o//^)^4 = -v(k)o//Or = -v(k)V1./. (8.5)
Внешняя сила F, ускоряя электроны, согласно (1.9), изменяет их волновой вектор k =Ti-1F и, следовательно, число к-электронов вблизи точки г. Если повторить эти рассуждения и для k-пространства, то можно написать
/(к, г, 0 = /(к+ Ak, г, t + At), (8.6)
что для скорости изменения /(k, г, t) благодаря действию внешней силы F дает
(df/dt)aоде = - к ДОк) = - U-1FVif. , (8.7)
Допустим, проводник находится во внешних электрическом E0 и магнитном H полях. Тогда на электрон с зарядом (—е) действует сила Лоренца
F = -e(E0 + i-[v(k)H]), ^ (8.8)
где V (k) = Ii-1Vte (к) — скорость электрона, с — скорость света.
Кинетическое уравнение (8.3) для электронов проводимости с учетом (8.5), (8.7) и (8.8) имеет вид
If + V (k) Vr/ - f (E0 + ± [V (к) H]) Vk/ = (If)pacc. (8.9)
Для того чтобы найти (3//3?)расс, введем величину И7(к, к')'— вероятность в единицу времени перехода электрона из состояния к в состояние к' в результате рассеяния на каком-нибудь дефекте решетки. Переходы из состояния к во всевозможные к'-состояния будут иметь место, если в к-состоянии есть электрон, а к'-состояния вакантны (принцип Паули). Поэтому из-за переходов к к' число к-электронов за единицу времени уменьшается на величину 2 Wr(к, к')/(к) (1 — /(к')) — уход из к-состоя-
73 ния. Число к-электронов, т. е. функция /(к, г), увеличивается за счет переходов электронов из всевозможных k'-состояний в
к-состояние на величину 2 W (к', к) / (k') (1 — /(к))—ирихЗД в
к'
к-состояние. Разность чисел приходящих и уходящих электронов дает скорость изменения неравновесной функции распределения
(df/dt)расе = 2 {^.(к', к) / (к') [1 - / (к)] -к'
— W (к, к') / (к) [1 — / (к')]}. (8.10)
В дальнейшем будем рассматривать стационарный случай, когда внешние поля от времени явно не зависят и, следовательно, df/dt = 0. В стационарном случае из (8.9) и (8.10) получим явный вид кинетического уравнения для электронов проводимости в электрическом и магнитном полях
V (k) Vr/ - (e/h) (E0 + (1/е) [V (к) -H]) VJ =
= 2 (к', к) / (k') [1 - / (к)] - W (к, к') / (к) [1 - / (к')]}. (8.11)
к'
Еслп от суммирования по к' перейдем к интегрированию, то увидим, что кинетическое уравнение (8.11) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение. Функция W(к, к'), входящая в столкновительную часть кинетического уравнения, зависит от природы взаимодействия электронов проводимости с рассеивателем и для конкретного механизма определяется квантовой теорией рассеяния.
Таким образом, основная задача теории явлений переноса — вычисление токов (8.1) и (8.2)—сводится к двум самостоятельным задачам: вычислению VF(k, к') для различных механизмов рассеяния и решению кинетического уравнения (8.11) для нахождения неравновесной функции распределения /(к,'г). Разумеется, эти задачи в общем виде не решаются. Приближенные решения кинетического уравнения будут рассмотрены в последующих параграфах, а пока мы остановимся на критериях применимости самого кинетического уравнения.
3. Условия применимости кинетического уравневия. Некоторые аспекты этого вопроса обсуждались в книгах [4—6]. Как из определения неравновесной функции распределения /(к, г), так и из вывода кинетического уравнения (8.9) видно, что оно справедливо только в квазиклассическом случае, когда имеет место понятие траектории и состояния электронного газа задаются в фазовом пространстве. Условие квазиклассичности [7, 8] налагает ограничение на обобщенную силу — градиент электрохимического потенциала —V (q>0 — (?/е)), а также на величину напряженности магнитного поля Н, и определяет предел применимости кинетического уравнения. На нем остановимся более подробно.
Условие квазиклассичности гласит: свойства свободной системы могут быть рассмотрены классической механикой, если
