Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если брэгговская «плоскость» задана значением К, то необходимо провести еще одну параболу свободных
электронов с вершиной в точке К.
в — второй шаг построения, используемого для определения искажений параболы свободных
электронов вблизи брэгговской «плоскости». В точке К/2, в которой пересекаются две параболы, появляется расщепление, т. е. вырождение снимается, г — части графика в, которые соответствуют изображенной на графике а первоначальной
параболе свободных электронов. д — влияние на параболу свободных электронов всех остальных брэгговских «плоскостей». Такой способ представления электронных уровней в периодическом потенциале называют схемой расширенных зон.
е — уровни энергии, показанные на графике д, изображенные в схеме приведенных зон. ж — уровни свободных электронов, приведенные на графиках д и е, изображенные в
схеме повторяющихся зон. •166
Глава 4
их зависимость от коордиат вблизи точек решетки. Комбинации s-типа, какн и для атомных s-уровней, не обращаются в нуль на ионе; в комбинации р-типа плотность заряда для малых расстояний изменяется пропорционально квадрату расстояния от иона и обращается в нуль на ионе, что характерно для атомных р-уровней.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Мы можем проиллюстрировать полученные общие выводы на примере одномерного случая, в котором возможно лишь двукратное вырождение. В отсутствие взаимодействия зависимость энергии электронных уровней от к имеет вид параболы (фиг. 9.4, а). В первом порядке по слабому одномерному периодическому потенциалу эта кривая остается неизменной всюду, кроме окрестности брэгговских «плоскостей» (в одномерном случае это точки). Если точка q близка к брэгговской «плоскости», отвечающей вектору К обратной решетки (т. е. близка к точке 112К), то, чтобы найти измененные значения энергетических уровней, необходимо вначале построить еще одну кривую зависимости энергии свободных электронов от к — параболу с вершиной в точке К (фиг. 9.4, б). Заметим, далее, что вырождение в точке пересечения снимается; при этом в данной точке возникает расщепление, равное 2 | UК\, и обе кривые имеют наклон, равный нулю. Таким образом, от фиг. 9.4, б мы переходим к фиг. 9.4, е. В результате подобного преобразования исходная кривая для свободных электронов принимает вид, показанный на фиг. 9.4, г. При учете всех брэгговских плоскостей и связанных с ними фурье-компонент мы приходим к совокупности кривых, изображенных на фиг. 9.4, д. Этот способ представления энергетических уровней называют схемой расширенных зон.
Если предпочтительнее задавать все уровни посредством векторов к из первой зоны Бриллюэна, мы можем перенести кусочки кривых на фиг. 9.4, д в первую зону, проделав смещения на векторы обратной решетки. Результат показан на фиг. 9.4, е. Это представление называют схемой приведенных зон (см. стр. 149).
Можно также подчеркнуть периодичность описания в /«-пространстве, продолжив периодически фиг. 9.4, е на все ^-пространство. В результате получается фиг. 9.4, ж, из которой хорошо видно, что всякий уровень с заданным к может быть описан также и другими волновыми векторами, отличающимися от к на любой из векторов обратной решетки. Такое представление называют схемой повторяющихся зон (см. стр. 149). В схеме приведенных зон для задания уровней используются векторы к, лежащие в первой зоне, тогда как в схеме расширенных зон применяются обозначения, подчеркивающие непосредственную связь с уровнями свободных электронов. Схема повторяющихся зон является наиболее общим представлением, но такое описание избыточно — каждый уровень показан много раз для всех эквивалентных волновых векторов к, к ± К. к ± 2К и т. д.
КРИВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭНЕРГИИ ОТ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Для изображения структуры энергетических зон в трехмерном случае иногда используют кривые зависимости Ш от к вдоль определенных прямых в ^-пространстве. Такие кривые обычно изображаются в схеме приведенных зон, поскольку для произвольного направления в ^-пространстве они не периодичны. Электроны в слабом периодическом потенциале
167-
Даже в приближении совершенно свободных электронов получаемые кривые оказываются поразительно сложными. Примером может служить фиг. 9.5, на которой изображена зависимость значений St—к. = Й2 (k — К)2/2т от волнового вектора к при изменении его вдоль определенных указанных направлений; взяты все векторы К обратной решетки, лежащие настолько близко к начальной точке, чтобы энергия не превышала максимального значения на вертикальной шкале.
Обратите внимание, что большинство кривых сильно вырождено1). Это связано с тем, что направления, вдоль которых изображена энергия, представ-
Фиг. 9.5. Энергетические уровни свободных электронов для г. ц. к. решетки Бравэ. (Из
работы [2].)
Энергии построены вдоль отрезков в первой зоне Бриллюэна, соединяющих точки Г (k = 0), К, L, W и X. Величина (ex — энергия в точке X, равная (tfi2/2m] (2я/а1*). Горизонтальными прямыми показаны энергии Ферми для обозначенного справа числа электронов в расчете на одну элементарную ячейку. Количество точек на кривой обозначает число вырожденных уровней свободных электронов, представленных этой кривой.
