Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем также определить п-ю зону Бриллюэна как совокупность всех точек, для достижения которых из начальной точки необходимо пересечь ровно п — 1 брэгговскую плоскость.
На фиг. 9.7 приведенные определения иллюстрируются на примере двумерного случая. Поверхности первых трех зон для г. ц. к. и о. ц. к. решеток показаны на фиг. 9.8. Оба определения подчеркивают то важное с физической точки зрения обстоятельство, что зоны ограничены брэгговскими плоскостями. Следовательно, они представляют собой области, на поверхностях которых влияние слабого периодического потенциала наиболее значительно (эффект первого порядка), тогда как в глубине зон поправки к энергетическим уровням свободных электронов возникают лишь во втором порядке.
Мы исключаем из рассмотрения точки, лежащие строго на брэгговской плоскости и относящиеся одновременно к нескольким зонам. В приводимых нами определениях речь идет лишь о внутренних точках зон.
Фиг. 9.7. Определение зон Бриллюэна в случае двумерной квадратной решетки Бравэ.
Обратная решетка также представляет собой квадратную решетку со стороной Ъ. Изображены все брэгговские плоскости (в двумерном случае это прямые), расположенные внутри квадрата со стороной 2Ъ с центром в начальной точке. Эти брэгговские плоскости делят квадрат на области, принадлежащие зонам от первой до шестой (целиком внутри такого квадрата лежат, однако, лишь первая, вторая и третья зоны). •170
Глава 4
III
¦Фиг. 9.8. Поверхности первой, второй и третьей зон Бриллюэна для о. ц. к. (а) и г. ц. к. (6)
кристаллов. (Из работы [3].) Показаны только внешние поверхности. Из определения на стр. 1 69 следует, что внутренняя поверхность n-fl зоны совпадает с внешней поверхностью (п — 1)-й зоны. Видно, что с увеличением номера зоны ограничивающая ее поверхность становится все более сложной. На практике для построения поверхностей Ферми свободных электронов часто используют более простые методы (аналогичные описанному в задаче 4), в которых не обязательно знать явный вид зон Бриллюэна.
Очень важно иметь в виду, что каждая зона Бриллюэна является элементарной ячейкой обратной решетки. Это связано с тем, что п-я зона Бриллюэна есть совокупность точек, для которых начальная точка обратной решетки оказывается п-ш ближайшей точкой (точка К обратной решетки ближе к точке к, чем к к начальной точке, в том и только том случае, когда точка к отделена от начальной точки брэгговской плоскостью, задаваемой вектором К). Но тогда для доказательства того, что п-я зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку, можно воспользоваться рассуждениями, приведенными на стр. 85 для доказательства элементарности ячейки Вигнера — Зейтца (т. е. первой зоны Бриллюэна); необходимо лишь всюду заменить в них слова «ближайший сосед» выражением «тг-й ближайший сосед». Электроны в слабом периодическом потенциале
171-
? Z д
Фиг. 9.9. Сфера Ферми свободных электронов для г. ц. к. металла с валентностью 4. (Из
работы [3].)
Первая зона Бриллюэна лежит полностью внутри сферы. Сфера не простирается дальше четвертой зоны Бриллюэна. Сфера пересекает только (внешние) поверхности второй и третьей зон (ср. фиг. 9.8, б). Поверхность Ферми во второй зоне состоит из тех частей сферы, которые лежат внутри многогранника, ограничивающего вторую зону Бриллюэна (т. е. она представляет собой всю сферу, за исключением тех ее частей, которые расположены за пределами многогранника о). Если части поверхности во второй зоне переместить в первую аону Бриллюэна при помощи трансляций на векторы обратной решетки, то они образуют простую односвязную фигуру в, которая носит название «дырочной поверхности»; уровни, находящиеся внутри нее, обладают бблышши энергиями, чем уровни вне нее. Поверхность Ферми в третьей зоне состоит из тех частей сферы, которые лежат вне второй зоны (т. е. за пределами многогранника а), но не выходят за пределы третьей зоны (т.е. содержатся внутри многогранника б). Если переместить эти части в первую зону Бриллюэна при помощи трансляций на векторы обратной решетки, то они дадут многосвязную структуру г. Поверхность Ферми в четвертой зоне состоит из оставшихся частей сферы, расположенных снаружи третьей зоны (см. фиг. б). Если перенести их в первую зону Бриллюэна путем трансляций на векторы обратной решетки, то они образуют «электронные карманы», изображенные на фиг. д. Для простоты на фиг. г и 0 показано только пересечение поверхностей Ферми в третьей и четвертой зонах с поверхностью первой зоны Бриллюэна.
Поскольку каждая зона является элементарной ячейкой, существует простой алгоритм построения полостей поверхности Ферми в схеме повторяющихся зон г). Этот алгоритм заключается в следующем.
1. Построить Сферу Ферми для свободных электронов.
2. Слегка деформировать ее (как показано на фиг. 9.6) в непосредственной близости к каждой из брэгговских плоскостей. (В пределе чрезвычайно слабого потенциала в первом приближении этот шаг иногда опускают.)
1) Представление поверхности Фермп в схеме повторяющихся зон является наиболее общпм. Насладившись зрелищем какой-либо полости поверхности Фермп во всем ее периодическом великолепии, вы можете затем выбрать такую элементарную ячейку, в которой наиболее отчетливо проявляется топологическая структура всей поверхности (часто, но не всегда, это первая зона Бриллюэна). •172
