Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
5. Зоны Бриллюэна для двумерной квадратной peviemnu
Рассмотрим двумерную квадратную решетку с постоянной решетки, равной а. а) Выразите в единицах 2яIa радиус круга в двумерном ^-пространстве, который
содержит т свободных электронов на элементарную ячейку. Постройте таблицу, в которой указано, какие из первых семи зон квадратной решетки (фиг. 9.15, а) заполнены целиком, какие заполнены частично и какие совершенно пусты, при т = 1, 2, . . ., 12. Проверьте,
что, если т. 5? 12, то заполненные уровни лежат целиком внутри первых семи зон, и что
при т > 13 начинают заполняться уровни в восьмой и более высоких зонах. Электроны в слабом периодическом потенциале
179
б) Нарисуйте в подходящих элементарных ячейках все «полости» поверхности Ферми для случаев т = 1, 2, . . 7. Например, поверхность третьей зоны для т. = 4 может быть изображена так, как это показано на фиг. 9.15,6,
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.— M.: Наука, 1974, стр. 171.
2. Herman F., в кн. An Atomistic Approach to the Nature and Properties of Materials, ed. Paslc J. A., Wiley, New York, 1967.
3. Liick R., Doctoral dissertation, Technische Hochschule, Stuttgart, 1965.
4. Harrison W., Phys. Rev., 118, 1190 (1960).
5. Ketterson J. B., Stark R. W., Phys. Rev., 156, 751 (1967). ГЛАВА 10
МЕТОД СИЛЬНОЙ СВЯЗИ
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ АТОМНЫХ ОРБИТАЛЕЙ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗОНАМ, ВОЗНИКАЮЩИМ ИЗ s-УРОВНЕЙ ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРОВНЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ
ФУНКЦИИ ВАННЬЕ
В гл. 9 мы рассчитывали электронные уровни в металле, рассматривая его как газ почти свободных электронов проводимости, для которых периодический потенциал ионов является всего лишь слабым возмущением. Можно выбрать иную точку зрения и рассматривать твердое тело (металл или диэлектрик) как совокупность слабо взаимодействующих нейтральных атомов. Представьте себе, например, что нам удалось расположить какое-то число атомов натрия в узлах о. ц. к. решетки, сторона кубической ячейки которой составляет сантиметры, а не ангстремы. Тогда все электроны будут находиться на атомных уровнях, локализованных в узлах решетки и ничем не напоминающих линейные комбинации нескольких плоских волн, описанные в гл. 9.
Если мы будем теперь уменьшать постоянную решетки, искусственно выбранную большой, то в некоторый момент, еще до того как будет достигнуто реальное значение постоянной решетки в металлическом натрии, нам придется изменить наше описание и отказаться от отождествления электронных уровней решетки с атомными уровнями отдельных атомов натрия. Для конкретного атомного уровня это станет необходимым, когда межатомное расстояние окажется сравнимым с пространственной протяженностью его волновой функции; тогда электрон на этом уровне начнет ощущать присутствие соседних атомов.
Реальное положение дел для ls-, 2s-, 2р- и Ss-уровней атомарного натрия показано на фиг. 10.1. Мы изобразили волновые функции уровней двух изолированных атомов, расстояние между ядрами которых составляет 3,7A > что соответствует расстоянию между ближайшими соседями в металлическом натрии. Перекрытие волновых функций 1 s-уровней, относящихся к двум этим узлам, практически отсутствует; следовательно, в металлическом натрии такие атомные уровни остаются фактически неизменными. Перекрытие волновых функций 2S- и 2/ьуровней чрезвычайно мало, поэтому можно полагать, что уровни в металле достаточно близки к пим. Однако перекрытие Ss-уровней (содержащих валентные электроны атома) оказывается значительным; следовательно, нет оснований ожидать, что реальные электронные уровни металла будут напоминать эти атомные уровни.
Приближение сильной связи применимо к случаям, когда перекрытие атомных волновых функций достаточно велико, чтобы приводить к необходимости Метод сильной связи
181
введения поправок в представление об изолированных атомах, но в то же время не столь существенно, чтобы сделать атомное описание совершенно неправильным. Это приближение наиболее полезно для описания энергетических зон, возникающих из частично заполненных d-оболочек атомов переходных металлов, а также для описания электронной структуры диэлектриков.
Приближение сильной связи не только полезно в практическом отношении, но и дает возможность по-новому взглянуть на характер блоховских уровней,
Фиг. 10.1. Вычисленные волновые функции для различных уровней атома натрия. (Из
работы [1].)
Волновые функции изображены для двух ядер, расстояние между которыми принято равным 3,7 A — расстоянию между ближайшими соседями в металлическом натрии. Сплошные кривые — величины г -ф<г) для уровней Is, 2s и 3s. Штриховая кривая соответствует произведению г на радиальную волновую функцию 2р-уровней. Обратите внимание, что кривые для Зв-уровней перекрываются значительно, кривые для 2s- и 2р-уровней перекрываются слабо, а для ls-уровней перекрытие в сущности отсутствует. Масштаб по оси г
равен 1 A
дополняя картину почти свободных электронов. Оно позволяет примирить между собой кажущиеся противоречивыми свойства локализованных атомных уровней и свойства уровней почти свободных электронов, имеющих вид плоских волн
