Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 4
3. Взять в ту часть поверхности сферы свободных электронов, которая лежит внутри п-й зоны Бриллюэна, и подвергнуть ее трансляциям на все векторы обратной решетки. Получающаяся поверхность представляет собой полость поверхности Ферми в схеме повторяющихся зон (Построенную таким образом поверхность принято относить к п-й энергетической зоне.)
Если построить поверхности из сферы Ферми для свободных электронов, опуская второй шаг в указанном алгоритме, то обычно последующий учет слабого периодического потенциала приводит лишь к сглаживанию углов и ребер.
Первая зона Вторая зона Третья зона Четвертая зона
Валентность Z Ф ДО:' XO Нет Нет
Валентность 3 Нет Ф / / У \ --V . - - • ' к К і А ' \ ^ к' .Л \ X - 1 ' W »1 /
Фиг. 9.10. Поверхности Ферми для свободных электронов в г. ц. к. металлах с валентностями 2 и 3. (По работе [4].)
(При валентности 1 вся поверхность Ферми расположена внутри первой зоны и поэтому в низшем порядке-остается сферической; поверхность Ферми при валентности 4 изображена на фиг. 9.9.) Показаны все полости поверхности Ферми. Выбранные элементарные ячейки имеют форму и ориентацию первой зоны Бриллюэна. Однако ячейка действительно является первой зоной Бриллюэна (т. е. ее центр находится в точке К = 0) только для поверхностей во второй зоне. На изображениях поверхностей в первой и третьей зонах точка K=O расположена в центре одной из горизонтальных граней, а на изображении поверхности в четвертой зоне она лежит в центре шестиугольной грани вверху справа (или же на параллельной ей противоположной грани, невидной на схеме). Шесть крошечных «электронных карманов», составляющих поверхность в четвертой зоне при валентности 3, лежат в углах правильного шестиугольника, получаемого путем смещения этой шестиугольной грани в направлении [111] на длину, равную половине расстояния до противоположной
грани. (Соответствующие построения для о. ц. к. металлов можно также найти в работе [4].)
Однако если полости поверхности Ферми состоят из очень малых кусочков (окружающих заполненные или незаполненные уровни и называемых электронными или дырочными «карманами»), то слабый периодический потенциал может стать причиной их исчезновения. Кроме того, если поверхность Ферми для свободных электронов имеет очень узкие сечения, то слабый периодический потенциал может вызвать разрыв поверхности.
Некоторые построения, используемые при изучении почти свободных электронов в г. ц. к. кристаллах, приведены на фиг. 9.10. Подобные поверхности Ферми для почти свободных электронов играют очень важную роль при изучении реальных поверхностей Ферми многих металлов. Это мы увидим в гл. 15.
1J Альтернативная процедура заключается в перенесении кусочков поверхности Ферми в п-й зоне на такие векторы обратной решетки, которые переводят эти кусочки пз п-й зоны, где они содержатся, в первую зону Бриллюэна. (Такие трансляции существуют, поскольку л-я зона представляет собой примитивную ячейку.) Пример показан на фиг. 9.9. Чтобы построить затем поверхность Ферми в схеме повторяющихся зон, необходимо получивши вся в первой зоне поверхности подвергнуть трансляциям на все векторы обратной решетки. Электроны в слабом периодическом потенциале
173-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР В МОНОАТОМНЫХ РЕШЕТКАХ С БАЗИСОМ
Нигде выше мы не использовали никаких других свойств потенциала U (г), кроме его периодичности, и, для удобства, симметрии относительно инверсии. Если взглянуть более внимательно на форму потенциала U и вспомнить, что он состоит из суммы атомных потенциалов с центрами в точках расположения ионов, то можно сделать некоторые дополнительные выводы, имеющие значение для исследования электронной структуры моноатомных решеток с базисом, таких, как структура типа алмаза или гексагональная плотноупа-кованная (г. п. у.) структура.
Предположим, что базис образован идентичными ионами, расположенными в точках dj. Тогда периодический потенциал U (г) имеет форму
= (9.31)
R 3
Подставляя это выражение в уравнение (8.32) для ?/к, находим
По ячейке R, j
= 4- J (9.32)
По всему про- ;
странсту
ОЛИ
Uk = - ф (К) <Sk, (9.33)
I/
где ф (К) — фурье-компонента атомного потенциала,
ф (К) = j (Іте-ік-гф(т), (9.34)
По всему пространству
a Sк — структурный фактор, введенный нами при обсуждении дифракции рентгеновских лучей в гл. 6:
(9.35)
Таким образом, когда базис имеет такую конфигурацию, что структурный фактор для некоторых брэгговских плоскостей обращается в нуль, т. е. когда эти плоскости не дают рентгеновских дифракционных максимумов, то обращается в нуль и фурье-компонента периодического потенциала, связанная с такими плоскостями. Это означает, что в низшем порядке исчезает расщепление соответствующих уровней свободных электронов.
Полученный результат особенно важен в теории металлов с г. п. у. структурой, которых существует более двадцати пяти (ем. табл. 4.4). Первая зона Бриллюэна для простой гексагональной решетки представляет собой призму, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Однако структурный фактор, соответствующий шестиугольным «дну» и «верху» призмы, обращается в нуль (см. задачу 3 в гл. 6).
