Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 101

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 203 >> Следующая


S = *b+-UrfcS± (4^z2Ih2I+ It-КI3)1''2. (9.36)

Удобно также отсчитывать энергию Ферми от самого низкого значения энергий двух зон (9.36) на брэгговской плоскости, записав

^ = + (9.37)

Тогда при Д < 0 никакая часть поверхности Ферми не пересекает эту плоскость.

а) Покажите, что при 0 < Д < 2 | Uk | поверхность Ферми расположена полностью в нижней зоне и пересекает брэгговскую плоскость по окружности радиусом •176

Глава 4

б) Покажите, что при А > [ 2Uk I поверхность Ферми расположена в обеих зонах и пересекает брэгговскую плоскость по двум окружностям с радиусами P1 и ра (см. фиг. 9.6), причем разность площадей двух этих окружностей равна

(9.39)

[Площадь этих окружностей в некоторых металлах можно измерить непосредственно с помощью эффекта де Гааза — ван Альфена (см. гл. 14), поэтому для таких металлов с почти свободными электронами величина | Uk I допускает прямое экспериментальное определение.]

2. Плотность уровней для двухзонной модели.

В определенной степени эта задача искусственна, поскольку поправки, обусловленные учетом влияния брэгговских плоскостей, которыми мы здесь пренебрегали, могут оказаться сравнимыми с интересующими нас отклонениями от результата для свободных электронов. С другой стороны, задача весьма поучительна, ибо ее качественные черты носят общий характер.

Если разложить вектор q на две компоненты — параллельную (q,,) и перпендикулярную q±) вектору К, то (9.26) переходит в выражение

»=-?-91+** («!!>' (9'4°)

где

ссть функция только от 5ц. Плотность уровней можно рассчитать по формуле (8.57), проводя интегрирование по всем волновым векторам, принадлежащим определенной элементарной

электронов вдали от брэгговской плоскости»

ячейке, и используя цилиндрическую систему координат с осью 2, направленной вдоль К.

а) Покажите, что после проведения интегрирования по q результат для каждой зоны имеет вид

(9-42)

где для каждой зоны ?[fax и g[fln — решения уравнения g = fc±(9||). Убедитесь, что в пределе I Uk ! —»- 0 мы получаем известный результат для свободных электронов.

б) Покажите, что в том случае, когда изоэнергетическая поверхность (с энергией Ж) пересекает бриллюэновскую плоскость (т. е. когда — I ^k ' ^ ® ®к/2 + ' ^к^'

л (Pi-Pa1)=iSVll і- Электроны в слабом периодическом потенциале

177-

для нижней зоны должно выполняться равенство

2т%

iin __j/""-

H2

-O(U2k)

>0), qrI



(9.43)

в) Покажите, что для верхней зоны формулу (9.42) следует понимать в том смысле, что она дает плотность уровней:

= ПРИ «>«8/2 + 1^1-1 (9-44)

г) Покажите, что dg/d<S имеет особенность при $ = ^к/2 ^K I ** поэтому плотность уровней выглядит так, как показано на фиг. 9.13. (Подобные особенности не являются специфической чертой приближения почти свободных электронов и случая двух зон. См. стр. 152)

Фиг. 9.14. Первая зона Бриллюэна для г. ц. к. кристалла.

3. Влияние слабого пери одического потенциала в области вблизи точки пересечения нескольких брэгговских плоскостей

1

Рассмотрим точку W (kw= (2я/а)(1, —, 0) на поверхности зоны Бриллюэна г.ц.к. структуры (фиг. 9.14). В этой точке пересекаются три брэгговские плоскости ((200), (111), (111)), поэтому энергии свободных электронов

7/2

JL

2т Ii2



(9.45)

5W

Й2Цу /2т.

в точке k = kw оказываются вырожденными и все равны

а) Покажите, что в области ^-пространства вблизи точки W в первом порядке теории возмущений энергии уровней определяются решениями уравнения1)

U1 U1 и.

U1

U 2 U1

U1 и.

U1

U 2 U1 U1 %1-%

= 0

где U2 = U200' U1 = JZ111 = UJ1Y- Покажите, что в точке W это уравнение имеет следующие корни:

5W

U2 (двукратный),

S = Sw+ U2 ± 2 U1

(9.46)

1J Предположите, что периодический потенциал U обладает симметрией относительно инверсии, а поэтому коэффициенты Uk — действительные числа. 178

Глава 9

I

Фиг. 9.15. а — первые семь зон Бриллюэна для двумерной квадратной решетки. Ввиду симметрии решетки достаточно изобразить лишь Ve всей фигуры. Для восстановления ее полного вида следует проделать отражения относительно штриховых линий (которые не являются границами зон);

б — поверхность Ферми в третьей зоне для квадратной решетки с четырьмя электронами

в ячейке. Масштаб значительно увеличен.

б) Используя аналогичный метод, покажите, что в точке U (Icu = (2я/а)(1, 1Ii, 1Ii)) энергия имеет следующие значения:

«=«и-U2, ^ = ^u+ 4" ^2+4"^ + 8^172' (9-47)

где cStj = fc2kfj /2т.

4. Альтернативное определение зон Бриллюэна

Пусть к — точка обратной решетки. Предположим, что вокруг каждой точки К обратной решетки, исключая ее начальную точку, построены сферы радиусом к. Покажите, что, если точка к находится внутри п — 1 сфер и не принадлежит ни одной из поверхностей сфер, то тогда она лежит внутри п-й зоны Бриллюэна. Покажите, что, если точка к находится внутри п—1 сфер и, кроме того, на поверхности т других сфер, то эта точка является общей для границ п-й, (п + 1)-й, . . ., (n + т)-й зон Бриллюэна.
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed