Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ляют собой линии с довольно высокой симметрией, а поэтому лежащие на них точки с большой степенью вероятности могут оказаться на таком же удалении от нескольких других векторов обратной решетки, как и от заданного вектора. Добавление слабого периодического потенциала обычно частично, но не полностью, снимает такое вырождение. Чтобы определить, каким именно образом происходит снятие вырождения, часто используют математическую теорию групп.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
В общем случае слабый периодический потенциал приводит к возникновению «энергетической щели» вблизи брэгговских плоскостей. Имеется в виду следующее.
Если Uk = 0, то при пересечении волновым вектором брэгговской ПЛОСКОСТИ, согласно (9.26), совершается непрерывный переход с одной ветви на дру-
Подчеркнем, что термин «вырождение» в квантовой теории кристаллов используется несколько иначе, чем в других разделах квантовой механики: состояния считаются вырожденными, если у двух или большего числа состояний совпадают не только энергии, но и ква-зпволновые векторы.— Прим. ред. •168
Глава 4
гую, как показано на фиг. 9.4, 6. Если Uk Ф 0, то это уже не так. Теперь при переходе волнового вектора k через брэгговскую плоскость энергия изменяется непрерывно только в том случае, если мы остаемся на кривой, отвечающей нижней (или верхней) ветви, как это видно из фиг. 9.4, в. Чтобы перейти с одной ветви на другую при непрерывном изменении к, энергия должна измениться скачком по крайней мере на величину 2 | UK\.
В гл. 12 мы увидим, что такому математическому разделению двух зон соответствует их физическое разделение. Когда под действием внешнего поля происходит изменение волнового вектора электрона, наличие энергетической щели приводит к тому, что после пересечения брэгговской плоскости электрон оказывается на уровне, энергия которого принадлежит исходной ветви зависимости % (к). Именно благодаря этому свойству энергетическая щель играет фундаментальную роль в анализе электронных явлений переноса.
Применение теории почти свободных электронов для определения зонной структуры в трехмерном кристалле ведет к очень сложным геометрическим построениям. Часто важнее всего найти поверхность Ферми (стр. 148) и исследовать поведение Sn (к) вблизи нее.
Метод определения этой поверхности в случае слабых потенциалов заключается в следующем. Вначале строим сферу Ферми свободных электронов с цент-
Фиг. 9.6. а — сфера свободных электронов, пересекающая брэгговскую плоскость, удаленную на V2K от начальной точки (Uk = 0); 6 — искажение сферы свободных электронов вблизи брэгговской плоскости при U^ Ф 0.
Поверхность постоянной энергии пересекает плоскость по двум окружностям, радиусы которых вычисляются
в задаче 1.
ром в точке k = 0. Затем следует учесть, что каждый раз, когда эта сфера пересекает брэгговскую плоскость, она деформируется определенным образом, как показано на фиг. 9.6 х). Еще сложнее она деформируется при прохождении вблизи нескольких брэгговских плоскостей. Учитывая влияние всех брэгговских плоскостей, мы приходим в схеме расширенных зон к изображению поверхности Ферми в виде расчлененной сферы. Чтобы построить части поверхности Ферми, лежащие в различных зонах в схеме повторяющихся зон, можно посту-
*) Это следует из доказанного на стр. 165 факта, что в приближении почти свободных электронов изоэнергетическая поверхность перпендикулярна брэгговской плоскости, которую она пересекает.
ЗОНА БРИЛЛЮЭНА
а
6 Электроны в слабом периодическом потенциале
169-
пать аналогичным образом, т. е. построить сначала сферы свободных электронов, с центрами во всех точках обратной решетки. Чтобы построить поверхность Ферми в схеме приведенных зон, следует перенести все кусочки расчлененной сферы в первую зону Бриллюэна, воспользовавшись трансляциями на векторы обратной решетки. Для систематизации подобной процедуры вводят геометрические представления о более высоких зонах Бриллюэна.
Напомним, что первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера — Зейтца для обратной решетки (см. стр. 85 и 98), т. е. совокупность всех точек, лежащих ближе к K = O, чем к любой другой точке обратной решетки. Поскольку брэгговские плоскости перпендикулярны отрезкам, соединяющим начальную точку с точками обратной решетки, и делят их пополам, можно дать еще одно, эквивалентное определение: первая зона Бриллюэна образована совокупностью точек, которых можно достичь из начальной точки, не пересекая по пути ни одной брэгговской плоскости х).
Более высокие зоны Бриллюэна — это другие области, также ограниченные брэгговскими плоскостями. Они определяются следующим образом.
Первая зона Бриллюэна есть совокупность точек в ^-пространстве, которых можно достичь из начальной точки, не пересекая ни одной брэгговской плоскости. Вторая зона Бриллюэна — совокупность точек, которых можно достичь из первой зоны, если пересечь всего одну брэгговскую плоскость. Соответственно (п -f- 1)-я зона Бриллюэна — это совокупность точек, которые лежат вне (п — 1)-й зоны и которых можно достичь из п-й зоны, пересекая всего одну брэгговскую плоскость.
