Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК БРАВЭ
Проблема классификации всевозможных кристаллических структур слишком, ^сложна, чтобы к ней можно было приступить прямо, поэтому мы прежде всего рассмотрим классификацию решеток Бравэ 3). С точки зрения симметрии
Примером подобного соотношения является условие ортогональности •&] = а2&1], выполняющееся ДЛЯ некоторых ОСНОВНЫХ векторов простой 1KyeHHeCKOft решетки Бравэ.
2) Подробное изложение этого предмета можно найти в учебнике Бюргера [1].
3) В этой главе мы будем называть решеткой Бравэ такую кристаллическую структуру, которая получается, если в каждой точке абстрактной решетки Бравэ поместить базис, обладающий максимальной возможной симметрией (например, сферу с центром в точке решетки), так что никакая из симметрий точечной решетки Бравэ не теряется в результате внесения этого базиса. •120
Глава 4
решетка Бравэ задается путем указания всех жестких операций х), которые переводят решетку в саму себя. Совокупность таких операций образует группу симметрии, или пространственную группу решетки Бравэ 2).
В число операций группы симметрии решетки Бравэ входят все трансляции на векторы решетки. Кроме того, в нее в общем случае входят также повороты, отражения и инверсии 3), которые переводят решетку в саму себе. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в саму себя при повороте на 90° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и имеющей направление
© ©
©
90' V
© © • Р
©
(4)
© ©
© ©
© ©
© ©
90'
(Df
©
© ©
Фиг. 7.1. а — построение, показывающее, что простая кубическая решетка переходит в саму себя при повороте на 90° вокруг оси, не содержащей точек решетки.
Ось поворота перпендикулярна плоскости чертежа; показаны только четыре точки решетки, лежащие ближе
всего к оси в одной атомной плоскости.
б — построение, показывающее, что того же самого результата можно добиться, проделав последовательно трансляцию на длину постоянной решетки (слева) и поворот вокруг точки
решетки с номером 1 (справа).
(100), при повороте на 120° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и имеющей направление (111), при отражении всех точек относительно плоскости решетки {100} и т. д. Простая гексагональная решетка Бравэ переходит в себя при повороте на 60° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и параллельной с-оси, при отражении относительно атомной плоскости, перпендикулярной с-оси и т. д.
1J То есть операций, сохраняющих расстояния между всеми точками решетки.
2) Мы не будем использовать язык математической теории групп, поскольку ниже не применяются аналитические результаты этой теории.
3) Отражение относительно некоторой плоскости заменяет предмет его зеркальным изображением в этой плоскости; инверсия относительно некоторой точки P переводит точку с координатами г (при выборе P в качестве начальной точки) в точку—г. Все решетки Бравэ обладают симметрией инверсии относительно произвольной точки решетки (задача 1). Классификация решеток Бравэ
121
Любую операцию симметрии решетки Бравэ можно построить из трансляции Tr на вектор R решетки и жесткой операции, оставляющей неподвижной по крайней мере одну из точек решетки х). Это не столь очевидно. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в себя при повороте на 90° вокруг оси (100), проходящей через центр кубической элементарной ячейки, в которой точки решетки размещены в восьми вершинах куба. Такая жесткая операция не оставляет неподвижной ни одну из точек решетки. Ее, однако, можно построить из трансляции на вектор решетки Бравэ и поворота вокруг определенной прямой, содержащей точки решетки, как это показано на фиг. 7.1. Подобное построение всегда возможно — это видно из следующих рассуждений.
Пусть имеется операция симметрии S, которая не оставляет неподвижной ни одну точку решетки. Предположим, она переводит начальную точку решетки О в точку R. Рассмотрим теперь преобразование, получаемое в результате последовательного применения операции S и трансляции T-R на вектор решетки — R. Данная составная операция, которую мы обозначим как T^rS, также относится к числу операций симметрии решетки, однако она оставляет начальную точку неподвижной, поскольку операция S переносит начальную точку в точку R, а затем операция T^r возвращает R в начало решетки. Таким образом, операция T__RS оставляет неподвижной хотя бы одну точку решетки (а именно ее начальную точку). Если, однако, после проведения операции T1-RiS мы проделаем операцию Tr, то результат будет эквивалентен выполнению одной операции S, поскольку заключительное применение операции Tr компенсирует предыдущее применение операции R. Поэтому операцию S можно построить из операции T_RS, оставляющей неподвижной одну точку, и операции Tr, являющейся чистой трансляцией.
Итак, полная группа симметрии решетки Бравэ 2) содержит лишь операции следующего вида:
1. Трансляции на векторы решетки Бравэ.
2. Операции, которые оставляют неподвижной некоторую точку решетки.
3. Операции, которые можно построить путем последовательного применения операций типа 1 и 2.
