Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
СЕМЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При изучении операций симметрии, отличных от трансляционной, часто рассматривают не всю пространственную группу решетки Бравэ, а лишь те операции, которые оставляют неподвижной одну из ее точек (т. е. операции, относящиеся к указанной выше категории 2). Это подмножество полной группы симметрии решетки Бравэ называют точечной группой решетки Бравэ.
Существуют только семь различных точечных групп, которые может иметь решетка Бравэ 3). Любая кристаллическая структура принадлежит к одной
1J Заметим, что трансляция на любой вектор решетки (кроме О) не оставляет неподвижной ни одну точку.
2) Ниже мы увидим, что общая кристаллическая структура может иметь дополнительные операции симметрии, не относящиеся к типам 1, 2 или 3. Это «винтовые оси» и «плоскости скольжения».
3) Две точечные группы тождественны, если они содержат совершенно одинаковые операции. Например, множество всех операций симметрии куба тождественно множеству всех операций симметрии правильного октаэдра, как это легко можно увидеть, вписав соответствующим образом октаэдр в куб (фиг. 7.2, а). С другой стороны, группа симметрии куба не эквивалентна группе симметрии правильного тетраэдра. Куб имеет больше операций симметрии (фиг. 7.2, б). •122
Глава 4
а 6
•Фиг. 7.2. а — всякая операция симметрии куба является также операцией симметрии правильного октаэдра, и наоборот, поэтому группа симметрии куба идентична группе октаэдра. 6—не всякая операция симметрии куба является операцией симметрии правильного тетраэдра; например, поворот на 90° вокруг указанной вертикальной оси переводит в себя куб, но не
тетраэдр.
из семи кристаллических систем в зависимости от того, какая из семи точечных групп является точечной группой лежащей в ее основе решетки Бравэ. Семь кристаллических! систем перечислены в следующем разделе.
ЧЕТЫРНАДЦАТЬ РЕШЕТОК БРАВЭ
Если не ограничиваться точечными операциями и рассматривать полную группу симметрии решетки Бравэ, то оказывается, что решетка Бравэ может иметь одну из четырнадцати различных пространственных групп х). Следовательно, с точки зрения симметрии существует четырнадцать видов решеток Бравэ. Впервые их перечислил Франкгейм (1842 г.). Однако Франкгейм ошибся в подсчетах и сообщил о пятнадцати возможных решетках. Бравэ (1845 г.) [первым провел правильный подсчет.
1I Эквивалентность двух пространственных групп решетки Бравэ — более тонкое понятие, чем эквивалентность двух точечных групп (хотя они оба и сводятся к понятию «изоморфизма» в абстрактной теории групп). Операции двух одинаковых пространственных групп могут все же отличаться в «несущественных» деталях, поэтому нельзя просто сказать, что две пространственные группы эквивалентны, если они содержат одни и те же операции. Например, две простые кубические решетки Бравэ с различными постоянными решетки а и а принято считать имеющими одинаковые пространственные группы, несмотря на то, что в одном случае шаг трансляций равен а, а в другом а . Сходным образом желательно было бы считать, что независимо от значения с/а, которое, очевидно, не влияет на полную симметрию структуры, пространственные группы всех простых гексагональных решеток Бравэ тождественны.
Чтобы подойти к решению этой проблемы, заметим, что в подобных задачах всегда можно путем непрерывной деформации перевести структуру заданного типа в другую структуру того же типа, не потеряв при этом ни одной из операций симметрии. Например, все время сохраняя простую кубическую симметрию, можно равномерно растянуть оси куба от а до а'. Сохраняя простую гексагональную симметрию, можно вытянуть (или сжать) с-ось (или а-ось). Следовательно, можно сказать, что две решетки Бравэ имеют одинаковую пространственную группу, если путем непрерывной трансформации удается преобразовать одну из них в другую таким образом, чтобы каждая операция симметрии первой решетки непрерывно трансформировалась в операцию симметрии второй из них, а во второй решетке нет ни одной дополнительной операции симметрии, которая не получалась бы так из операции симметрии первой решетки Бравэ. Классификация решеток Бравэ
123
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ СЕМИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЧЕТЫРНАДЦАТИ РЕШЕТОК БРАВЭ
Ниже мы перечисляем все семь кристаллических систем, а также решетки Бравэ, принадлежащие каждой из них. Число решеток Бравэ в системе указано в скобках после названия системы.
Кубическая система (3). Кубическая система содержит те решетки Бравэ, точечная группа которых совпадает с группой симметрии куба (фиг. 7.3, а). Три решетки Бравэ с неэквивалентными пространственными группами обладают кубической точечной группой: простая, кубическая, объемно-центрированная кубическая и гранецентрир о ванная кубическая. Все они были описаны в гл. 4.
Тетрагональная система (2). Чтобы понизить симметрию куба, можно взять его за противоположные грани и вытянуть в прямую призму с квадратным основанием, но с высотой, не равной сторонам квадрата (фиг. 7.3, б). Группа симметрии такого объекта есть тетрагональная группа. Растягивая подобным образом простую кубическую решетку, можно получить простую
