Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
п есть группа с инверсионной осью гс-го порядка. Она содержит группу C3h, скрывающуюся под обозначением 6. Она содержит также группу Si, которая чудесным образом переходит в 4. Однако S6 превращается в 3, a S2 — в 1 из-за различия между зеркально-поворотной осью и инверсионной осью.
ИЛИ кРатко nImmmI совпадает с классом Dnh со следующим различием'. в международной системе предпочитают считать, что группа D3h содержит инверсионную ось 6-го порядка, и обозначать эту группу как 62т (см. следующий класс; отметим аналогию с исключением группы C3h из піт и переходом ее в п). Заметим также, что обозначение 2Immm обычно еще более сокращают и записывают как ттт. В своей полной, несокращенной форме международные обозначения этих групп должны напоминать нам, что группу Dnh можно считать состоящей из оси гс-го порядка с перпендикулярной ей зеркальной плоскостью; кроме того, ось гс-го порядка украшена двумя наборами перпендикулярных ей осей" 2-го порядка, каждая из которых обладает своей собственной зеркальной плоскостью.
п2т совпадает с Dnd, за исключением того, что в этот класс под обозначением 62т входит группа D3h. Обозначение должно напоминать о наличии инверсионной оси гс-го порядка с перпендикулярной ей осью 2-го порядка и о наличии вертикальной зеркальной плоскости. Случай гс = 3 вновь является исключе-
— 2 — нием. Его полное обозначение есть 3 — (или кратко 3т) — оно подчеркивает
тот факт, что в этом случае вертикальная зеркальная плоскость перпендикулярна оси 2-го порядка.
Обозначения кубических кристаллографических точечных групп. Международные обозначения и обозначения Шенфлиса для пяти кубических групп приведены в табл. 7.2. Группа Oh есть полная группа симметрии куба (или октаэдра — отсюда О), включая несобственные операции допускаемые горизонтальной (horizontal) зеркальной плоскостью (h). Группа О представляет собой группу куба (или октаэдра), не содержащую несобственных операций; Td есть полная группа симметрии правильного тетраэдра, включая все несобственные операции; T — группа правильного тетраэдра без несобственных операций; Th получается, если к T добавить операцию инверсии.
Международные обозначения для кубических групп более удобны, чем обозначения других кристаллографических точечных групп, поскольку в качестве второго символа они содержат цифру 3, которая указывает на присутствие во всех кубических группах оси вращения 3-го порядка.
Любая операция, которая переводит правосторонний объект в левосторонний, называется несобственной. Все остальные операции — собственные. Несобственными являются операции, содержащие нечетное число инверсий или зеркальных отражений. Классификация решеток Бравэ
133
230 ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
К счастью, мы не будем долго говорить о 230 пространственных jrpynnax; отметим лишь, что их число больше, чем можно было бы ожидать. Для каждой кристаллической системы можно построить кристаллическую структуру с иной пространственной группой, помещая объект с симметрией каждой из точечных групп этой системы в каждую из решеток Бравэ системы. Таким способом, однако, удается получить лишь 61 пространственную группу, как это видно из табл. 7.4.
Таблица 7.4
Перечисление простых пространственных групп
Система Число точечных групп Число решеток Бравэ Произведение
Кубическая 5
Тетрагональная 7
Ромбическая 3
Моноклинная 3
Триклинная 2
Гексагональная 7
Тригональная 5
Всего 32
3 15
2 14
4 12
2 6
1 2
1 7
1 5
14 61
Мы можем дополнительно насчитать еще пять групп, замечая, что объект с тригональной симметрией, будучи помещен в гексагональную решетку Бравэ, дает еще не учтенную нами пространственную группу 1). Другие семь групп
1J Хотя тригональная точечная группа содержится в гексагональной, тригональную
решетку Бравэ нельзя получить из простой гексагональной путем бесконечно малого искажения (в отличие от всех других пар систем, соединенных стрелками в иерархии симметрпй на фиг. 7.7). Тригональная точечная группа содержится в гексагональной точечной группе, поскольку тригональную решетку Бравэ можно рассматривать как простую гексагональную с трехточечным базисом, образуемым точками
111 2 2 2 0; aI' Та2, je и Talt уа2, -с.
В результате, помещая базис с тригональной точечной группой в гексагональную решетку Бравэ, мы пол»учаем новую пространственную группу, отличающуюся от той, которую мы имели бы, есл.г бы тот же базис был помещен в тригональную решетку. Это не справедливо ни в каком другом случае. Например, поместив базис с тетрагональной симметрией в простую кубическую решетку, мы получим точно ту же пространственную группу, которую имели бы, поместив его в простую тетрагональную решетку (при условии, что не выполняется какого-либо специального соотношения между размерами этого объекта и длиной с-оси). Физически это отражается в том, что существуют кристаллы, имеющие тригональные базисы в гексагональных решетках Бравэ, но не существует кристаллов с тетрагональными базисами в кубических решетках Бравэ. В последнем случае только по чистой случайности длины с-оси и а-осей могут быть равными (и соответственно решетка остаться кубической). Наоборот, простую гексагональную решетку нельзя перевести в тригональную путем непрерывного искажения, поэтому она может сохранять свою простую гексагональную форму даже при наличии базиса, имеющего всего лишь тригональную симметрию.
