Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
„ „ . ,, „ для целых /71 и всех векторов R .„
R.(k-k) = 2nm решетки Бравэ. (6"6)
Его можно переписать в эквивалентной форме
ei (k'-k)-R _ Ji дЛЯ всех векторов R решетки Бравэ. (6.7)
Сравнивая это условие с определением обратной решетки (5.2), мы приходим к полученному Лауэ выводу, согласно которому для конструктивной интерференции необходимо, чтобы изменение волнового вектора К = к' — к было равно одному из векторов обратной решетки.
Иногда удобно иметь другую формулировку условия Лауэ, в которой используется лишь волновой вектор к падающего луча. Для этого заметим прежде всего, что обратная решетка является решеткой Бравэ, а поэтому, если к' — к — вектор обратной решетки, то таким вектором является и к — к'. Обозначая последний как К, мы можем записать условие равенства длины векторов к и к' в виде
k = I к — К I . (6.8)
Возводя обе части выражения (6.8) в квадрат, получаем условие х)
к-К = 4-Я, (6.9)
которое означает, что проекция волнового вектора к падающего луча на направление вектора К обратной решетки должна составлять половину от длины вектора К.
Поэтому волновой вектор к падающего луча удовлетворяет условию Лауэ в том и только в том случае, если конец этого вектора лежит в плоскости, которая перпендикулярна отрезку прямой, соединяющему начальную точку в k-пространстве с точкой К обратной решетки, и делит этот отрезок пополам (фиг. 6.5). Такие плоскости в k-пространстве называют брэгговскими плоскостями.
потери энергии, т. е. оно является упругим, или, если использовать представление о фононах,— происходит ез излучения или поглощения фононов. С хорошей степенью точности основная часть -излучения действительно рассеивается упругим образом, однако изучение малой компоненты излучения, испытавшей неупругое рассеяние, также очень важно и позволяет получить денную информацию (см. гл. 24 и приложение О).
1) Здесь К = К/К. — Прим. перев. •108
Глава 4
Из эквивалентности подходов Брэгга и Лауэ, которая доказывается в следующем разделе, следует, что всякая брэгговская плоскость й-пространства, соответствующая определенному дифракционному максимуму в формулировке
Фиг. 6.5. Условие Лауэ.
Если сумма векторов к и -к' равна вектору К, а к и к' имеют одинаковую длину, то конец вектора к находится на равном расстоянии от начальной точки О нот конца вектора К и лежит поэтому в плоскости, которая делит пополам отрезок, соединяющий начальную точку с концом вектора К, и перпендикулярна вектору К.
Лауэ, параллельна семейству атомных плоскостей прямой решетки, ответственных за этот максимум в формулировке Брэгга.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМУЛИРОВОК БРЭГГА И ЛАУЭ
Эквивалентность двух критериев конструктивной интерференции рентгеновских лучей на кристалле следует из соотношения между векторами обратной решетки и семействами атомных плоскостей (см. гл. 5). Предположим, что волновые векторы кик' падающего и рассеянного лучей удовлетворяют условию Лауэ, согласно которому вектор К = к' — к должен принадлежать обратной решетке. Поскольку падающая и рассеянная волна имеют равные длины волндлина векторов к и к' одинакова. Следовательно (фиг. 6.6), кик' образуют равные углы 6 с плоскостью, перпендикулярной вектору К. Поэтому рассеяние можно рассматривать как брэгго-вское отражение с брэгговским углом 6 от семейства атомных плоскостей, перпендикулярных вектору К обратной решетки.
Чтобы показать, что такое отражение удовлетворяет условию Брэгга (6.2), заметим, что вектор К в целое число раз2) больше вектора K0 — наименьшего из векторов обратной решетки, параллельных К. В соответствии с теоремой на стр. 99 длина вектора K0 равна 2лId, где d — расстояние между соседними пло-
K = к'-к
Фиг. 6.6. Волновой вектор к падающего луча, волновой вектор к' отраженного луча и вектор их разности К = к' — к, удовлетворяющий условию Лауэ. Все эти векторы лежат в плоскости чертежа. Поскольку рассеяние упругое (h' = h), направление К делит пополам угол между кик'. Пунктирной линией показано пересечение плоскости, перпендикулярной вектору К, с плоскостью чертежа.
г) См. примечание 2 на стр. 106.
2) Это следует элементарно из того, что обратная решетка является решеткой Бравэ. См. гл. 5, задачу 4. Определение кристаллических структур
109'
скостями, перпендикулярными K0 или К. Поэтому
9 ттп
(G.10)
С другой стороны, из фиг. 6.6 следует, что К = 2к sin 0 и, таким образом,
Поскольку к = 2п/К, формула (6.11) означает, что длина волны удовлетворяет условию Брэгга (6.2).
Итак, дифракционный максимум Лауэ, соответствующий изменению волнового вектора на вектор К обратной решетки, соответствует брэгговскому отражению от семейства атомных плоскостей прямой решетки, перпендикулярного вектору К. Порядок п брэгговского отражения равен длине вектора К, деленной на длину наименьшего вектора обратной решетки, параллельного вектору К.
Поскольку обратную решетку, соответствующую данной решетке Бравэ, гораздо легче и нагляднее представлять, чем множество всевозможных плоскостей, на которые можно разбить решетку Бравэ, на практике для нахождения дифракционных максимумов гораздо проще пользоваться условием Лауэ, а не условием Брэгга. В остающейся части главы мы применим условие Лауэ для описания трех наиболее важных методов рентгеновского кристаллографического анализа реальных образцов и обсудим, каким образом можно получить информацию не только о решетке Бравэ, но и о расположении ионов в отдельной элементарной ячейке.
