Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Числа различных групп сопоставляются в табл. 7.1.
Если попытаться построить новые решетки Бравэ путем искажения простой гексагональной решетки, то легко обнаружить, что изменение угла между двумя основными векторами равной длины, перпендикулярными с-оси, дает базоцентрированную ромбическую-решетку, изменение и угла и длины векторов приводит к моноклинной решетке, а отклонение с-оси от перпендикуляра дает в общем случае триклинную решетку. •128
Глава 4
Тридцать две кристаллографические точечные группы можно построить из семи точечных групп решетки Бравэ, рассматривая систематически все возможные способы понижения симметрии объектов на фиг. 7.3, описываемых этими группами.
Построение дает двадцать пять новых групп. Каждая из них связана с одной из семи кристаллических систем в соответствии со следующим правилом. Любая группа, построенная путем понижения симметрии объекта, описываемого некоторой кристаллической системой, продолжает принадлежать этой системе до тех пор, пока симметрия не понизится настолько, что все оставшиеся операции симметрии объекта могут быть найдены также и в менее симметричной кристаллической системе; когда это происходит, группу симметрии объекта относят к менее симметричной системе. Следовательно, кристаллографическая точечная группа принадлежит к кристаллической системе, обладающей наименьшей симметрией из семи точечных групп решетки Бравэ, содержащих в себе все операции симметрии данной кристаллографической группы
Объекты с симметрией пяти кристаллографических точечных групп, относящихся к кубической системе, изображены в табл. 7.2. Объекты с симметрией двадцати семи некубических кристаллографических групп показаны в табл. 7.3.
Кристаллографические точечные группы могут содержать операции симметрии следующего вида.
1. Повороты на угол, кратный 2л/п, вокруг некоторой оси. Такую ось называют осью п-го порядка. Легко показать (задача 6), что решетка Бравэ
Понятие иерархии симметрии кристаллических систем требует некоторого разъяснения. На фиг. 7.7 каждая из кристаллических систем обладает более высокой симметрией по сравнению с теми, которых можно достигнуть, двигаясь от нее по направлению стрелок. Иначе говоря, соответствующая точечная группа решетки Бравэ не содержит операций, не имевшихся в группах, из которых ее можно достигнуть. На первый взгляд такая схема неодно значна, поскольку четыре пары: кубическая — гексагональная, тетрагональная — гекса-
— Кубическая
\
Тетрагональная \
Ромбическая \
Моноклинная
I
Триклинная
Фиг. 7.7. Иерархия симметрий для семи кристаллических систем. Каждая точечная группа решетки Бравэ содержит в себе все другие группы, которых можно достичь, двигаясь в направлении стрелок.
тональная, тетрагональная — тригональная и ромбическая — тригональная системы — не соединены стрелками. Поэтому, казалось бы, можно представить себе объект, все операции симметрии которого принадлежат как к тетрагональной, так и к тригональной группе, но не к группе, лежащей ниже их обеих. Про группу симметрии подобного объекта можно было бы сказать, что она принадлежит сразу тетрагональной и тригональной системам, поскольку для нее нет однозначной системы с более низкой симметрией. Оказывается, однако, что как в этом, так и в трех других неоднозначных случаях все элементы симметрии, общие двум группам из пары, принадлежат группе, находящейся ниже их обеих в иерархии. (Например, любой элемент, общий для тетрагональной и тригональной групп, принадлежит также моноклинной группе.) Поэтому всегда существует только одна-единственная группа с низшей симметрией.
Гексагональная
» I
Тригональная - Классификация решеток Бравэ
129
Таблица 7.2
Объекты с симметрией пяти кубических кристаллографических точечных групп а)
) Слева отікаждого объекта указано обозначение Шенфлиса для его группы симметрии, а справа — международное обозначение. Неизображенные здесь грани можно представить, учитывая, что для всех пяти объектов поворот на 120" вокруг пространственной диагонали куба является операцией симметрии. (Такая ось показана для незаштрихованного куба.)
может иметь только оси 2-, 3-, 4- и 6-го порядка. Поскольку кристаллографические точечные группы содержатся в точечных группах решеток Бравэ, они также могут иметь лишь оси этого порядка.
2. Повороты с отражениями. Даже если поворот на угол 2п/п не является элементом симметрии, иногда такой поворот с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной его оси, может принадлежать группе симметрии. Тогда подобную ось называют зеркально-поворотной осью п-то порядка. Например, группы S6 и Sit (см. табл. 7.3) имеют зеркально-поворотные оси 6-го и 4-го порядка.
3. Повороты с инверсией. Аналогично иногда поворот на угол 2п/п с последующей инверсией относительно точки, лежащей на'оси поворота, оказывается элементом симметрии, хотя сам такой поворот им не является. Тогда эту ось называют инверсионной осью п-то порядка. Ось в группе Si (см. табл. 7.3) представляет собой, например, также и инверсионную ось 4-го порядка. Ось в группе Se является, однако, лишь инверсионной осью 3-го порядка.
