Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
4л
К = — (vix + v2y+V3Z),
где
xJ = -T (пі + п2 + щ) — П], 2 VJ = T + Из)-
(6.19)
(6.20)
Мы знаем (см. гл. 5), что решеткой, обратной к г.ц.к. решетке с кубической ячейкой со стороной а, является о. ц. к. решетка с кубической ячейкой со сто- •116
Глава 4
роной 4яIa. Будем рассматривать ее как состоящую из двух простых кубических решеток со стороной 4я 1а. Для первой из них, содержащей начальную точку K = O, все Vi должны быть целыми [согласно (6.19)], поэтому сумма Пі jT + п3, входящая в выражение для К, должна быть четной [согласно (6.20)]. Для второй из них, содержащей «объемноцентрированную точку»
(4я/а) I(x + y+z), все Vi должны иметь вид «целое число + V2 [согласно
(6.19)] и сумма H1jTn2jT п3 в выражении для К должна быть нечетной» [согласно
(6.20)].
Сравнивая это с (6.18), мы видим, что точки со структурным фактором 1 ± і относятся к простой кубической подрешетке, состоящей из «объемно-центрированных» точек. Точки со структурным фактором S, равным 2 или 0, принадлежат простой кубической подрешетке, содержащей начальную точку, причем сумма ^ Vi четна при S = 2 и нечетна при S=O. Следовательно, точки с нулевым структурным фактором можно вновь удалить, производя показанное на фиг. 6.11 построение для простой кубической решетки, содержащей начальную точку, в результате чего она превращается в гранецентрированную кубическую структуру (фиг. 6.12).
ДИФРАКЦИЯ НА ПОЛИАТОМНОМ КРИСТАЛЛЕ. АТОМНЫЙ ФОРМ-ФАКТОР
Если ионы в базисе не идентичны,структурный фактор (6.13) принимает вид
™ ІК-rt
Sk=^, fJ (К) Єі \ (6.21)
J=I
где атомный форм-фактор fj полностью определяется внутренней структурой того иона, который занимает положение d/ в базисе. Идентичные ионы имеют одинаковые форм-факторы (независимо от того, где они находятся), поэтому в моноатомном случае выражение (6.21) переходит в выражение (6.13), умноженное на общий форм-фактор.
При элементарном рассмотрении атомный форм-фактор, связанный с брэг-говским отражением, которое определяется вектором К обратной решетки, можно считать пропорциональным фурье-образу от распределения электронного заряда в соответствующем ионе *):
(K)=-I \dveK(г). (6.22)
Следовательно, атомный форм-фактор зависит как от К, так и от конкретных особенностей распределения заряда в ионе, занимающем положение dj в базисе. В результате структурный фактор не обращается в нуль ни при каких К; исключение составляют лишь те случаи, когда между форм-факторами различных типов случайно выполняются некоторые соотношения. Если сделать разумные предположения относительно зависимости различных форм-факторов от К, то путем изучения зависимости] интенсивности брэгговских максимумов от К часто удается вполне достоверно установить, какую из возможных структур имеет исследуемый кристалл (см., например, задачу 5).
х) Ион типа /, расположенный в точке г = 0, обладает электронной плотностью заряда Pj (г); таким образом, вклад иона, расположенного в точке R + dj, в электронную плотность заряда кристалла равен р} (г — [R + dj-]). (Обычно заряд электрона выносят из форм-фактора в качестве отдельного множителя, чтобы сделать форм-фактор безразмерным.) Определение кристаллических структур
117'
На этом мы завершаем обсуждение брэгговской дифракции рентгеновских лучей. В проведенном анализе не было использовано никаких других свойств рентгеновских лучей, кроме их волновой природы 1). Впоследствии с многими понятиями и результатами этой главы мы встретимся вновь при обсуждении других волновых явлений в твердых телах, а именно дифракции электронов (гл. 9) и нейтронов (гл. 24) 2).
ЗАДАЧИ
1. Измельченные в порошок образцы трех различных моноатомных кубических кристаллов анализируются с помощью камеры Дебая—Шеррера. Известно, что один из образцов — гранецентрированный кубический, другой — объемноцентрированный кубический и третий
Фиг. 6.13. Схематическое изображение камеры Дебая — Шеррера. Дифракционные максимумы регистрируются на полоске фотопленки.
имеет структуру типа алмаза. Примерные положения первых четырех дифракционных колец характеризуются в каждом случае следующими данными (фиг. 6.13):
Значения ф для образцов
ABC
42,2° 28,8° 42,8°
49,2 41,0 73,2
72,0 50,8 89,0
87,3 59,6 115,0
а) Определите кристаллическую структуру образцов А, В и С.
б) Если длина волны падающих рентгеновских лучей равна 1,5 A, чему равна длина стороны условной кубической ячейки в каждом из указанных случаев?
в) При каких углах будут наблюдаться первые четыре кольца, если структуру типа алмаза заменить на структуру типа цинковой обманки, при той же длине стороны кубической ячейки?
2. Г.ц.к. кубическую решетку Бравэ часто бывает удобно представлять в виде простой кубической решетки с четырехточечным базисом, у которой сторона кубической элементарной ячейки равна а.
а) Покажите, что структурный фактор (6.13) для всех точек простой кубической обратной решетки равен тогда либо 4, либо 0.
б) Покажите, что, если удалить точки с нулевым структурным фактором, то остающиеся точки обратной решетки образуют о.ц.к. решетку со стороной условной ячейки 4я/а. Почему можно было ожидать такой результат?
