Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1J Непривычные эпитеты «конструктивная» и «деструктивная» при слове «интерференция» подчеркивают, что в результате интерференции сигналы могут и усиливаться и ослабляться. — Прим. ред. •114
Глава 4
как из-за того, что любое рассеяние электромагнитных волн характеризуется угловой зависимостью, так и из-за того, что на рассеяние влияют особенности внутренней структуры отдельных ионов в базисе. Поэтому, зная только структурный фактор, нельзя предсказать абсолютную интенсивность брэгговского максимума х). Однако он может приводить к специфической зависимости от К, которую легко выделить даже в том случае, когда на нее налагаются другие, менее характерные зависимости от К. Наконец, с полной уверенностью структурным фактором можно пользоваться в случае, когда он обращается в нуль. Это происходит, если элементы базиса расположены таким образом, что для рассматриваемого вектора К имеет место чисто деструктивная интерференция; тогда интенсивность суммарного луча обязательно равна нулю, какими бы свойствами ни обладали лучи, рассеянные отдельными элементами базиса.
Чтобы показать, насколько важную роль играет обращение в нуль структурного фактора, рассмотрим два примера 2).
1. Объемн оцеп три р ова н п сім кубическая решетка, рассматриваемая как простая кубическая решетка с базисом. О.ц.к. решетка представляет собой решетку Бравэ, поэтому, как мы знаем, брэгговские отражения должны наблюдаться в случае, если изменение К волнового вектора является вектором обратной г. ц. к. решетки. Иногда, однако, удобно рассматривать о.ц.к. решетку как простую кубическую решетку, которая порождается основными векторами ах, ay, az и имеет двухточечный базис,
А Л
состоящий из точек di = 0 и d2 = (а/2) (х + у + z). В таком случае обратная решетка также является простой кубической и имеет кубическую ячейку со стороной длиной 2п/а. Однако теперь каждому брэгговскому отражению соответствует свой структурный фактор Sr- Тогда из (6.13) следует, что
Sk = 1 + ехр [ж .-I а (?+ у + z)] , (6.14)
Произвольный вектор в простой кубической обратной решетке имеет вид
К = ^(піх + п2у + п3і). (6.15)
Подставляя (6.15) в (6.14), находим структурный фактор
SK = I-)- еіп сч+гь+n*) = 1-)-( — i)n-+n»+n» =
(2, Tli + Пч + По — четное число,
= L (6.16)
1.0, Ац + Иг + Яз-^н®46™064110-110-
Краткое, но глубокое обсуждение рассеяния электромагнитного излучения кристаллами, включающее вывод подробных формул для интенсивности в случае различных описанных выше геометрий эксперимента, содержится в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1].
2) Другие примеры можно найти в задачах 2 и 3.
ки, для которых структурный фактор (6.16)
обращается в нуль (белые кружки). До этих точек можно дойти из начальной точки, пройдя нечетное число связей между соседними узлами. Если такие точки удалить, остающиеся узлы (черные кружки) образуют г. ц. к. решетку, сторона кубической ячейки которой равна 4п/а. Определение кристаллических структур
115'
Мы видим, что с точками простой кубической обратной решетки, сумма координат которых относительно кубических основных векторов нечетна, в действительности не связано никакого брэгговского отражения. Таким образом, простая кубическая обратная решетка превращается в г.ц.к. структуру, которая получалась бы, если бы мы рассматривали о. ц. к. прямую решетку не как решетку с базисом, а как решетку Бравэ (фиг. 6.11).
Следовательно, если по небрежности или в целях большей симметрии описания решетка Бравэ рассматривается как решетка с базисом, то все равно получается правильное описание дифракции рентгеновских лучей при учете обращения в нуль структурного фактора.
2. Моноатомная решетка типа алмаза. Моноатомная решетка типа алмаза (углерод, кремний, германий и серое олово) не является решеткой Бравэ и должна быть описана как решетка с базисом. В основе ее лежит г. ц. к. решетка Бравэ, а в качестве базиса можно взять точки (I1=O и d2=(?/4)(x+y+z), где векторы X, у, Z направлены по осям куба и а — сторона условной кубической ячейки. Обратная решетка
является гранецентрированной кубической и имеет условную кубическую ячей ку со стороной Anla. Если взять в качестве основных векторы
Фиг. 6.12. О. ц. к. решетка с кубической ячейкой со стороной 4л?а.
Эта решетка является обратной к г. ц. к. решетке со стороной кубической ячейки, раЕной а. Если г. ц. к. решетка соответствует структуре типа ал-Masa, то белые кружки представляют собой узлы с нулевым значением структурного фактора. (Черные кружки — узлы со структурным фактором, равным 2, а заштрихованные— узлы со структурным фактором 1 ± ?'.)
2л
2п
2л
(6.17)
Ьі = ^1 (У+Z-х), = ~ (z+x — у), Ь3 = — (х + у—z), то структурный фактор (6.13) для К = J^jbi принимает вид
^k = 1 + exp in (U1 + п2 4- щ) J =
(2, ni-\-n2-\-n3—удвоенное четное число, 1 ± і, + + — нечетное число, (6.18)
0, TlijTTl2jI-Tli — удвоенное нечетное число.
Чтобы понять, каков геометрический смысл условий, налагаемых на заметим, что если в К = ^refbi подставить выражения (6.17), то произвольный вектор обратной решетки можно записать в виде
