Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
m m (m3m)
(тЗ) Таблица 7.3
Некубические кристаллографические точечные группы а)
) Неизображенные грани можно представить, поворачивая объекты вокруг оси п-то порядка, которая всегда вертикальна. Обозначение Шенфлиса для группы даво слева от ее характерного объекта, а международное обозначение — справа. Группы распределены по вертикальным столбцам в соответствии с их кристаллической системой и по горизонтальным рядам — в соответствии с их типом в международной системе обозначений или в системе Шенфлиса. Обратите внимание, что группы распределяются по классам Шенфлиса (указаным с левой стороны таблицы) несколько иным образом, чем по классам международной системы обозначений (приведенным с правой стороны таблицы). В большинстве случаев (но не всегда) характерные объекты получены путем понижения симметрии объектов на фиг. 7.3, где представлены кристаллические еистемы (точечные группы Бравэ). Для понижения симметрии их грани штриховались соответствующим образом. Исключения составляют тригональные и две гексагональные группы, для которых выбраны объекты другой формы, чтобы подчеркнуть аналогию между объектами, относящимися к одному классу Шенфлиса (т. е. стоящими в одном горизонтальном ряду). По поводу представления тригональних групп с помощью штриховки объекта на фит. 7 .3, хе см. задачу 4. Классификация решеток Бравэ
131
4. Отражения. Отражение переводит каждую точку в ее зеркальное изображение относительно некоторой плоскости, называемой зеркальной.
5. Инверсии. При инверсии имеется всего одна неподвижная точка. Если эту точку взять за начало отсчета, то любая другая точка г переходит в —г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
Широко используются две системы обозначений — международная и предложенная Шенфлисом. Обе они приведены в табл. 7.2 и 7.3.
Обозначения ПІенфлгіса для, некубических кристаллографических точечных групп. Как уже говорилось, горизонтальные ряды табл. 7.3 соответствуют указанным слева обозначениям Шенфлиса. Поясним эти обозначения
Cn: группы содержат только ось /г-го порядка.
Cnv: кроме оси /г-го порядка, группы имеют зеркальную плоскость, содержащую ось вращения, плюс такое число дополнительных зеркальных плоскостей, которого требует существование оси /г-го порядка.
Cnh: кроме оси /г-го порядка, группы содержат зеркальную плоскость, перпендикулярную этой оси.
Sn: группы содержат только зеркально-поворотную ось п-го порядка.
Dn: кроме оси /г-го порядка, группы содержат ось 2-го порядка, перпендикулярную оси /г-го порядка, плюс такое число дополнительных осей 2-го порядка, которого требует существование оси /г-го порядка.
Dnh: эти (наиболее симметричные) группы содержат все элементы групп Dn плюс зеркальную плоскость, перпендикулярную оси /г-го порядка
Dn d: группы содержат все элементы групп Dn плюс зеркальные плоскости, содержащие ось /г-го порядка и делящие пополам углы между осями 2-го порядка.
Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в том, что приведенные в табл. 7.3 объекты действительно обладают симметрией, требуемой их обозначениями Шенфлиса.
Международные обозначения для некубических кристаллографических точечных групп. Рядыв табл. 7.3 сгруппированы также в соответствии с указанными справа международными обозначениями. Три символа, используемых в международных обозначениях, совпадают по смыслу с обозначениями Шенфлиса:
п совпадает с Cn.
птт совпадает с Cnv. Два символа т указывают на наличие двух различных типов зеркальных (mirror) плоскостей, содержащих ось /г-го порядка. Чтобы их представить, следует обратиться к изображениям объектов, принадлежащих группам 6 mm, 4mm и 2тт. Они показывают, что ось 2/-го порядка переводит вертикальную зеркальную плоскость в j зеркальных плоскостей, по при этом автоматически возникает еще / других плоскостей, которые делят пополам углы между смежными плоскостями в первом наборе. Ось (2/ + 1)-го порядка, однако, переводит зеркальную плоскость в 2/ -f- 1 эквивалентных плоскостей, в связи с чем группу C3v обозначают 2) лишь как 2>т.
*) С означает «циклическая» (cyclic), D —«двусторонняя» (dihedral) и S —«зеркальная» (Spiegel). Нижние индексы h, V и d означают соответственно «горизонтальная» (horizontal), «вертикальная» (vertical) и «диагональная» (diagonal); оші указывают на расположение зеркальных плоскостей по отношению к оси я-го порядка, которая считается направленной вертикально. («Диагональные» плоскости в группах Dnd являются вертикальными и делят пополам углы между осями 2-го порядка.)
2) Подчеркивая различие между осями четного и нечетного порядка, международная система обозначений в отличие от обозначений Шенфлиса рассматривает ось 3-го порядка как особый случай. •132
Глава 4
«22 совпадает с Dn. В этом случае справедливы те же рассуждения, что и для класса птт, но теперь мы имеем перпендикулярные оси 2-го порядка, а не вертикальные зеркальные плоскости.
Приведем теперь другие классы международных обозначений и их связь с классами обозначений Шенфлиса.
п/т совпадает с группой Cnh, однако имеется следующее различие: в международной системе предпочитают считать, что группа C3h содержит инверсионную ось 6-го порядка, поэтому ее обозначают 6 (см. следующий класс). Отметим также, что группу Clh обозначают просто как т, а не как 1 /т.
