Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Не следует путать поверхностную плотность заряда а с проводимостью, которую обычно также обозначают буквой а.
'•') Хотя ионы в металле п пе могут перемещаться по нему, они могут перепои;• !«иловую энергию (но не электрический заряд): ионы могут колебаться относительно среднего положения, что приводит к передаче тепловой энергии в форме упругих волн, распростра няющихся по ионной решетке. См. гл. 25.
a = + nde N электронов
+ -
+ -
+ E = Zna + Zna = 4л nde -
+ -
+ -
N/Z ионов a=-nde
Фиг. 1.5. Простая модель плазменных колебаний. 36 Глава 1
Таблица 1.6
Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и числа Лоренца
некоторых металлов а)
27 ЗК 373К
0 JX GM ЄНТ
X, Вт/см-К и/стТ, 10-8 Вт-Ом/кг и,Вт/см-К и/а T, 10-8 Вт¦ Ом/К2
Li 0,71 2,22 0,73 2,43
Na 1,38 2,12
К 1,0 2,23
Rb 0,6 2,42
Cu 3,85 2,20 3,82 2,29
Ag 4,18 2,31 4,17 2,38
Au 3,1 2,32 3,1 2,36
Be 2,3 2,36 1,7 2,42
Mg 1,5 2,14 1,5 2,25
Nb 0,52 2,90 0,54 2,78
Fe 0,80 2,61 0,73 2,88
Zn 1,13 2,28 1,1 2,30
Cd 1,0 2,49 1,0
Al 2,38 2,14 2,30 2,19
In 0,88 2,58 0,80 2,60
Tl 0,5 2,75 0,45 2,75
Sn 0,64 2,48 0,60 2,54
Pb 0,38 2,64 0,35 2,53
Bi 0,09 3,53 0,08 3,35
Sb 0,18 2,57 0,17 2,69
а) Из справочника Кэя и Лэби [з].
Чтобы дать определение коэффициента теплопроводности и рассчитать его, рассмотрим металлический стержень, вдоль которого температура медленно меняется. Если бы на концах стержня не было источников и стоков тепла, поддерживающих градиент температуры, то его горячий конец охлаждался бы, а холодный — нагревался, т. е. тепловая энергия текла бы в направлении, противоположном градиенту температуры. Подводя тепло к горячему концу с той же скоростью, с которой оно отсюда уходит, можно добиться установления стационарного состояния с градиентом температуры и постоянным потоком тепловой энергии. Мы определяем плотность потока тепла как вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку *). Для малых градиентов температуры поток тепла оказывается пропорциональным XT (закон Фурье):
j« = -kVT. (1.47)
Коэффициент пропорциональности х называют коэффициентом теплопроводности. Он положителен, поскольку направление потока тепла противоположно направлению градиента температуры.
1I Обратите внимание на аналогию с определением плотности электрического тока j, а также и на аналогию между законами Ома и Фурье. Теория металлов Друде
37
В качестве конкретного примера рассмотрим случай, когда имеется постоянный перепад температур в положительном направлении оси х. Тогда в стационарном состоянии поток тепла течет также в направлении х и имеет абсолютную величину Jq = —к dTldx. Чтобы рассчитать этот тепловой поток, заметим (предположение 4, стр. 22), что скорость электрона после каждого столкновения соответствует локальной температуре; чем выше температура в месте столкновения, тем большей энергией обладает испытавший столкновение электрон. Следовательно, даже если среднее значение скорости электронов в какой-либо точке окажется равным нулю, то и при таких условиях будет существовать суммарный тепловой поток (в отличие от электрического тока), направленный в сторону области с более низкой температурой (фиг. 1.6). Это объясняется тем, что электроны, приходящие в данную точку из области с высокой температурой, имеют более высокие энергии, чем электроны, приходящие из области с низкой температурой.
Чтобы получить на основе этой картины количественную оценку теплопроводности, вначале рассмотрим чрезмерно упрощенную «одномерную» модель, в которой электроны способны двигаться лишь вдоль оси X, так что в точку х половина электронов приходит с той стороны, где температура выше, а половина — со стороны, где она ниже. Если %(Т) — тепловая энергия в расчете на один электрон в металле, который находится в равновесии при температуре Т, то электрон, последнее столкновение которого произошло в точке х', в среднем имеет тепловую энергию %(Т [х'Х). Электроны, приходящие в точку X с той стороны, где температура выше, испытали последнее предшествующее столкновение в среднем в точке X — DT и поэтому несут в расчете на один электрон тепловую энергию %(Т Ix — ут]). Их вклад в плотность теплового потока равен поэтому произведению числа таких электронов в единице объема пі2 на их скорость у и на их энергию, т. е. (п/2) и %(Т [х — ут]). Электроны, приходящие в точку X с той стороны, где температура ниже, дают вклад (/г/2) (—v) [% (Т Ix + ут])], поскольку движутся от больших значений х в направлении меньших. Сложение двух этих членов дает
р =Lno (T Ix - ут]) -Ш (Tlx + ут])]. (1.48)
Если изменение температуры на расстоянии длины свободного пробега ¦? — ут очень мало J), то можно разложить полученное выражение в ряд вблизи точки х, тогда в линейном приближении получим
= b^IF (--?)¦ <4-49>
Чтобы перейти в этой формуле к трехмерному случаю, необходимо только заменить V на vx — проекцию скорости электрона v в направлении оси х —
