Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
p(t + dt)-V(t)= -(~)p(t) + i(t)dt + 0 (dt)*, (1.11)
J) Через O (dt)2 обозначен член порядка (dt)2.
2) Если сила, действующая на элэктрон, не одинакова для всех электронов, формула (1.10) остается справедливої! при условии, что мы понимаем под Ї среднюю силу в расчете на один электрон. Теория металлов Друде
27
где учтен вклад в р (t + dt) всех электронов. Поделив на dt и взяв предел dt ->- 0, находим
+ (1.12)
Это уравнение означает, что эффект столкновений отдельных электронов сводится к введению в уравнение движения для импульса, приходящегося на один электрон, дополнительного члена, описывающего затухание за счет трения.
Применим теперь формулу (1.12) к нескольким интересующим нас случаям.
ЭФФЕКТ ХОЛЛА И МАГНЕТОСОИРОТИВЛЕНИЕ
В 1879 г. Холл попытался определить, действует ли сила, испытываемая проводником стоком в магнитном поле, на весь проводник или же только (как мы бы сейчас сказали) на электроны, движущиеся в проводнике. Сам он подозревал последнее, и его эксперимент основывался на том, что, «если электрический
Z
Фиг. 1.3. Схема эксперимента Холла.
ток в закрепленном проводнике сам притягивается к магниту, то этот ток должен подходить ближе к одной из сторон проводника и поэтому испытываемое им сопротивление должно нарастать» [4]. Его попытки обнаружить такое добавочное сопротивление оказались безуспешными 1), но Холл не считал, что это позволяет делать окончательные выводы: «Магнит может стремиться отклонить ток, не будучи способным сделать это. Очевидно, в таком случае в проводнике существовало бы состояние напряжения, как бы электрическое давление, действующее в направлении одной из сторон проводника». Подобное состояние напряжения должно проявляться в существовании поперечной разности потенциалов (или э. д. с. Холла, как мы ее сегодня называем), которую Холлу удалось наблюдать.
Схема эксперимента Холла изображена на фиг. 1.3. К проводнику, расположенному вдоль оси X, приложено электрическое поле Ex, вызывающее электрический ток fx. Помимо того, имеется магнитное поле Н, параллельное оси z. В результате появляется сила Лоренца 2)
—yvxH, (1.13)
1I В гл. 12 и 13 мы увидим, что сопротивление действительно возрастает (сопротивление в магнитном поле называют магнетосопротивлением). Модель Друде, однако, предсказывает равенство нулю магнетосопротивления в согласии с результатом Холла.
2) Имея дело с немагнитными (или слабо магнитными) материалами, мы всегда будем считать полем величину Н, поскольку разница между В и H в этом случае чрезвычайно маля. 28
Глава 1
отклоняющая электроны в отрицательном направлении оси у (дрейфовая скорость электрона направлена против тока). Однако электроны не могут долго двигаться в направлении оси у, поскольку они достигают границы проводника. По мере того как они там скапливаются, нарастает электрическое поле, направленное вдоль оси у и противодействующее движению и дальнейшему накоплению электронов. В состоянии равновесия это поперечное поле (или поле Холла) Ey компенсирует силу Лоренца, и ток идет лишь в направлении оси х.
Две величины представляют здесь интерес. Одна из них — это отношение поля вдоль проводника Ex к плотности тока jx:
P (H) = -J2l . (1.14)
Ix
Холл обнаружил, что эта величина (магнетосопротивление) не зависит от поля *). Другой характеристикой является величина поперечного поля Ey. Поскольку такое поле уравновешивает силу Лоренца, можно полагать, что оно должно быть пропорциональным как приложенному полю Н, так и току jx в проводнике. Поэтому величину, называемую коэффициентом Холла, определяют как
RH = -TS-. <1Л5>
J Xn
Следует обратить внимание на то, что, поскольку поле Холла направлено против оси у (фиг. 1.3), коэффициент Rh должен быть отрицательным. С другой стороны, если бы заряд носителей был положительным, знак ИХ аг-компоненты скорости был бы обратным и сила Лоренца осталась бы неизменной. В результате поле Холла имело бы направление, противоположное тому, которое оно имеет при отрицательно заряженных носителях. Этот вывод очень важен, поскольку он означает, что измерения поля Холла позволяют определить знак носителей заряда. Экспериментальные данные, впервые полученные Холлом, находились в согласии со знаком заряда электрона, определенным позднее Томсоном. Одна из замечательных особенностей эффекта Холла заключается, однако, в том, что в некоторых металлах коэффициент Холла положителен, и поэтому носители в них должны, видимо, иметь заряд, противоположный заряду электрона. Это еще одна загадка, решение которой должна дать полная квантовомеханическая теория твердого тела. В настоящей главе дан лишь простой анализ в рамках модели Друде; хотя он и не способен объяснить существование положительных коэффициентов Холла, он часто находится в довольно хорошем согласии с экспериментом.
Чтобы рассчитать коэффициент Холла и магнетосопротивление, определим вначале плотности тока )х и /у в случае, когда имеется электрическое поле с произвольными компонентами Ex и Ey, а также магнитное поле Н, направленное вдоль оси z. На каждый электрон действует (не зависящая от пространственных координат) сила f = —е (Е + v X H/с), поэтому уравнение (1.12) для импульса в расчете на один электрон приобретает вид 2)
