Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы видели в гл. 1, подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана — Франца; вместе с тем из него следует также, что электроны должны давать большой вклад в теплоемкость металла, равный 3/2кв на один электрон. Такой йклад обнаружен не был 2).
В течение четверти века этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов 3) в силу принципа запрета Паули распределение Максвелла — Больцмана (2.1) должно быть заменено распределением Ферми — Дирака:
1J Мы используем стандартные векторные обозначения. В частности, v обозначает абсолютную величину вектора v. Далее, мы говорим, что скорость заключена в интервале dv с центром в у, если ее і-я компонента лежит в интервале между Vi и Vi -J- dvt, где і = х, у , г; символ dv используется и для обозначения объема области в пространстве скоростей с центром в V її размерами dv, т. е. d\ = dvx dv,f dvz. (Таким образом, мы следуем широко распространенной среди физиков практике не применять различных обозначений для самой области и ее объема — значение символа всегда ясно из контекста.)
2) Ниже мы увидим, что в действительности вклад от электронов при комнатной температуре имеет примерно в сто раз меньшую величину и становится еще меньше с понижением температуры.
3) И для любых других частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака.
(2.1)
4я® exp[(i/2mf2 — квТ0)/квТ] + 1 ¦
1
(2.2)44
Глава 1
f
1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 OA 0,3
о,г 0,1
-L
I
x=mvz/ZkBT
10 го 30 40 50 60 70 80 90 100 UO
а
x = mv /ZlibT J_I_I__3
О 1
5
6
Фиг. 2.1.
распределения Максвелла — Больцмана / и Ферми — Дирака /
'FD
при
типичных металлических плотностях и комнатной температуре.
Обе кривые относятся к плотности, соответствующей температуре T = 0,01 T0. Масштаб одинаков для обоих распределений и выбран так, чтобы при низких энергиях распределение Ферми — Дирака достигало единицы. Ниже комнатной температуры различие между распределениями становится еще более отчетливым.
6 — те же распределения в интервале от х = 0 до х = 10, построенные в другом масштабе. Ось X растянута примерно в 10 раз, а ось f сжата примерно в 500 раз, чтобы распределение Максвелла — Больцмана полностью поместилась на графике. При таком выборе масштабов кривая, соответствующая распределению Ферми — Дирака, сливается с осью х.
Здесь H — постоянная Планка, деленная на 2л, a T0 — температура, определяемая из условия нормировки
п = ^ d\ / (v)
(2.3)
и равная обычно десяткам тысяч градусов. При интересующих нас температурах (ниже IO3 К) и при электронных плотностях, типичных для металла, распределение Ферми — Дирака чрезвычайно сильно отличается от распределения Максвелла — Больцмана (фиг. 2.1).
В этой главе мы рассмотрим теорию, приводящую к распределению Ферми-Дирака (2.2), и покажем, как сказывается статистика Ферми — Дирака на свойствах электронного газа в металлах.
*) Заметим, что постоянные в выражении (2.1) для распределения Максвелла — Больцмана уже выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство (2.3). Формула (2.2) выведена ниже [см. (2.89)]. В задаче 3, п. «г», показано, что множитель то3/AniFi3 в выражении (2.2) может быть преобразован к виду, упрощающему сравнение с выражением (2.1).Теория металлов Зоммерфельда
45
Сразу же после открытия того, что для объяснения связанных состояний электронов в атомах необходим принцип запрета Паули, Зоммерфельд применил этот принцип к свободному электронному газу в металлах, что позволило избавиться от наиболее вопиющих термодинамических противоречий исходной модели Друде. В большинстве случаев модель Зоммерфельда представляет собой просто модель классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается статистикой Ферми — Дирака, а не Максвелла — Больцмана. Чтобы обосновать использование распределения Ферми — Дирака и оправдать его включение в классическую во всех остальных отношениях теорию, нам необходимо изучить квантовую теорию электронного газа 1).
Для простоты изложения мы сначала рассмотрим свойства электронного газа в основном состоянии (т. е. при T = 0), а затем уже перейдем к изучению отличных от нуля температур. Оказывается, что такие свойства имеют большой самостоятельный интерес: мы увидим, что для электронного газа с плотностью, типичной для металлов, комнатная температура фактически является очень низкой и поэтому во многих случаях можно считать, что T = 0. Благодаря этому многие (хотя и не все) параметры, характеризующие электронные свойства металлов, имеют даже при комнатной температуре практически ту же самую величину, что и при T = 0.
СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ
Нам необходимо рассчитать свойства основного состояния системы из N электронов, заключенных в объеме V. Поскольку электроны не взаимодействуют друг с другом (приближение независимых электронов), основное состояние этой системы можно найти, вычислив вначале уровни энергии отдельного электрона в объеме V и заполняя затем эти уровни снизу вверх в соответствии с принципом Паули, который запрещает двум электронам одновременно занимать один электронный уровень 2).