Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 38

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 203 >> Следующая


Как мы видели в гл. 1, подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана — Франца; вместе с тем из него следует также, что электроны должны давать большой вклад в теплоемкость металла, равный 3/2кв на один электрон. Такой йклад обнаружен не был 2).

В течение четверти века этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов 3) в силу принципа запрета Паули распределение Максвелла — Больцмана (2.1) должно быть заменено распределением Ферми — Дирака:

1J Мы используем стандартные векторные обозначения. В частности, v обозначает абсолютную величину вектора v. Далее, мы говорим, что скорость заключена в интервале dv с центром в у, если ее і-я компонента лежит в интервале между Vi и Vi -J- dvt, где і = х, у , г; символ dv используется и для обозначения объема области в пространстве скоростей с центром в V її размерами dv, т. е. d\ = dvx dv,f dvz. (Таким образом, мы следуем широко распространенной среди физиков практике не применять различных обозначений для самой области и ее объема — значение символа всегда ясно из контекста.)

2) Ниже мы увидим, что в действительности вклад от электронов при комнатной температуре имеет примерно в сто раз меньшую величину и становится еще меньше с понижением температуры.

3) И для любых других частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака.

(2.1)

4я® exp[(i/2mf2 — квТ0)/квТ] + 1 ¦

1

(2.2) 44

Глава 1

f

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 OA 0,3

о,г 0,1





-L

I

x=mvz/ZkBT

10 го 30 40 50 60 70 80 90 100 UO

а

x = mv /ZlibT J_I_I__3

О 1

5

6

Фиг. 2.1.

распределения Максвелла — Больцмана / и Ферми — Дирака /

'FD

при

типичных металлических плотностях и комнатной температуре.

Обе кривые относятся к плотности, соответствующей температуре T = 0,01 T0. Масштаб одинаков для обоих распределений и выбран так, чтобы при низких энергиях распределение Ферми — Дирака достигало единицы. Ниже комнатной температуры различие между распределениями становится еще более отчетливым.

6 — те же распределения в интервале от х = 0 до х = 10, построенные в другом масштабе. Ось X растянута примерно в 10 раз, а ось f сжата примерно в 500 раз, чтобы распределение Максвелла — Больцмана полностью поместилась на графике. При таком выборе масштабов кривая, соответствующая распределению Ферми — Дирака, сливается с осью х.

Здесь H — постоянная Планка, деленная на 2л, a T0 — температура, определяемая из условия нормировки

п = ^ d\ / (v)

(2.3)

и равная обычно десяткам тысяч градусов. При интересующих нас температурах (ниже IO3 К) и при электронных плотностях, типичных для металла, распределение Ферми — Дирака чрезвычайно сильно отличается от распределения Максвелла — Больцмана (фиг. 2.1).

В этой главе мы рассмотрим теорию, приводящую к распределению Ферми-Дирака (2.2), и покажем, как сказывается статистика Ферми — Дирака на свойствах электронного газа в металлах.

*) Заметим, что постоянные в выражении (2.1) для распределения Максвелла — Больцмана уже выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство (2.3). Формула (2.2) выведена ниже [см. (2.89)]. В задаче 3, п. «г», показано, что множитель то3/AniFi3 в выражении (2.2) может быть преобразован к виду, упрощающему сравнение с выражением (2.1). Теория металлов Зоммерфельда

45

Сразу же после открытия того, что для объяснения связанных состояний электронов в атомах необходим принцип запрета Паули, Зоммерфельд применил этот принцип к свободному электронному газу в металлах, что позволило избавиться от наиболее вопиющих термодинамических противоречий исходной модели Друде. В большинстве случаев модель Зоммерфельда представляет собой просто модель классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается статистикой Ферми — Дирака, а не Максвелла — Больцмана. Чтобы обосновать использование распределения Ферми — Дирака и оправдать его включение в классическую во всех остальных отношениях теорию, нам необходимо изучить квантовую теорию электронного газа 1).

Для простоты изложения мы сначала рассмотрим свойства электронного газа в основном состоянии (т. е. при T = 0), а затем уже перейдем к изучению отличных от нуля температур. Оказывается, что такие свойства имеют большой самостоятельный интерес: мы увидим, что для электронного газа с плотностью, типичной для металлов, комнатная температура фактически является очень низкой и поэтому во многих случаях можно считать, что T = 0. Благодаря этому многие (хотя и не все) параметры, характеризующие электронные свойства металлов, имеют даже при комнатной температуре практически ту же самую величину, что и при T = 0.

СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ

Нам необходимо рассчитать свойства основного состояния системы из N электронов, заключенных в объеме V. Поскольку электроны не взаимодействуют друг с другом (приближение независимых электронов), основное состояние этой системы можно найти, вычислив вначале уровни энергии отдельного электрона в объеме V и заполняя затем эти уровни снизу вверх в соответствии с принципом Паули, который запрещает двум электронам одновременно занимать один электронный уровень 2).
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed