Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
3. Эффект Томсона
Предположим, что в задаче 2 в металле помимо приложенного электрического поля имеется также постоянный градиент температуры VT. Поскольку энергия электрона непосредственно после столкновения определяется локальной температурой, потеря энергии при столкновениях зависит от того, насколько далеко «вниз» по градиенту температуры прошел электрон за время между двумя столкновениями, а также от того, какое количество энергии он приобрел от электрического поля. Следовательно, выражение для потери энергии будет содержать член, пропорциональный E-VT (его легко отличить от других членов, описывающих энергетические потери во втором порядке, поскольку это единственный член, меняющий знак при обращении знака Е). Покажите, что этот вклад описывается в модели Друде членом порядка (пет/m) (d%ldT)(E • VT), где % — средняя тепловая энергия в расчете на один электрон. [Рассчитайте энергию, теряемую типичным электроном, который непосредственно перед столкновением в точке г испытал столкновение в точке г — d. Считая, что время релаксации т постоянно, т. е. не зависит от энергии, d можно найти в первом приближении по полю и градиенту температуры с помощью простых кинетических рассуждений. Этого достаточно, чтобы вычислить потери энергии во втором порядке.]
4. Геликоидальные волны
Предположим, что металл помещен в постоянное магнитное поле Н, направленное вдоль оси z; пусть на него действует переменное электрическое поле Ее"гю', перпендикулярное Н.
а) Пусть электрическое поле поляризовано циркулярно (Ey = -j- iEx). Покажите, что формулу (1.28) теперь следует обобщить таким образом:
Ml-E (Л Coc) тК h=±4* Iz = O. (1.61)
б) Покажите, что с учетом (1.61) уравнения Максвелла (1.31) имеют решение
Ех = Е0е^-а<\ Ey = ±iEx, E2 = 0 (1.62)
при условии, ЧТО Al2C2 = есо2, где
Шп / 1 \
е(ш)=1--?¦ ( (1.63)
' СО \ CO + COc+[/T / \ > 42
Глава 1
в) Изобразите ход функции є (со) при со > 0 (при поляризации Ey = іЕх) и продемонстрируйте, что решения уравнения й2с2 = єсо2 существуют для произвольного к при частотах со > сор и со < сое. (Считайте^ выполненным условие сильного поля сост 1 и учтите, что даже в поле порядка сотен килогауссов сор/сос >1.)
г) Покажите, что, когда со сос, соотношение между & и со для такого низкочастотного решения имеет вид
(1.64)
Эта низкочастотная волна, называемая геликоном, наблюдалась во многих металлах [8]. Оцените частоту геликона, если длина волны составляет 1 см, поле имеет напряженность 10 кГс, а электронная плотность — типичную для металлов величину.
5. Поверхностные плазмоны
Электромагнитная волна, способная распространяться вдоль поверхности металла, затрудняет наблюдение обычных (объемных) плазмонов. Пусть полупространство z > 0 занято металлом, а полупространство z < 0 — вакуумом. Предположим, что фигурирующая в уравнениях Максвелла плотность электрического заряда р обращается в нуль как вне, так и внутри металла. (Это не исключает существования поверхностной плотности заряда, сосредоточенной на плоскости z = 0.) Поверхностный плазмон представляет собой решение уравнений Максвелла, имеющее следующую форму:
Ех = Ае*9хе~Кг, Eu = 0, E1 = Benxe-Kz z>0;
¦К- -К' (1-65)
Ex=Ce^elc z, Ey = O, Ez = Del9xe , z< 0,
где д. К, К' — действительные, К, К' — положительные числа.
а) Предполагая обычные граничные условия [т. е. непрерывность величин Ец и (еЕ)±] и используя результаты Друде (1.35) и (1.29), найдите три уравнения, связывающие д, К и К' как функции со.
б) Предполагая, что сот > 1, изобразите д2с2 как функцию со2.
в) Покажите, что в пределе дс > со существует решение с частотой со = (?>р/~\Ґ2. Оцените К и К' и покажите, что эта волна существует лишь у поверхности. Опишите ее поляризацию. Такую волну называют поверхностным плазмоном.
ЛИТЕРАТУРА
1. Drude P., Ann. Phys., 1, 566; 3, 369 (1900).
2. Wyckoff R. W. G., Crystal Structures, 2nd ed., Interscience, New York, 1963.
3. Kaye G. W. C., Laby T. H., Table of Physical and Chemical Constants, Longmans Green, London, 1966. (Имеется перевод 9-го изд.: К эй Д., Лэби Т. Справочник физика-экспериментатора.— M.: ИЛ, 1949.)
4.. Hall Е. H., Am. J. Math., 2, 287 (1879).
5. Luck R., Phys. Stat. Sol., 18, 49 (1966).
6. Born M., Wolf E., Principles of Optics, Pergamon, New York, 1964. (Имеется перевод: Борн M., Вольф Э. Основы оптики.— M.: Наука, 1970.)
7. Powell С. J., Swan J. В., Phys. Rev., 115, 869 (1959).
8. Bowers Л. et al., Phys. Rev. Lett., 7, 339 (1961). ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ ЗОММЕРФЕЛЬДА
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ — ДИРАКА СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ ПЛОТНОСТЬ РАЗРЕШЕННЫХ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ ИМПУЛЬС, ЭНЕРГИЯ И ТЕМПЕРАТУРА ФЕРМИ ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ И МОДУЛЬ ВСЕСТОРОННЕГО СЖАТИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ ЗОММЕРФЕЛЬДА ЗАКОН ВИДЕМАНА — ФРАНЦА
Во времена Друде и затем в течение многих лег вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с распределением в обычном классическом газе с плотностью п = NlV ті описывается в состоянии равновесия при температуре T формулой Максвелла — Больцмана. При таком предположении число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале d\ с центром в v, равно /в (v) d\, где
