Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
_ + (1.16)
1J Точнее, эта величина представляет собой поперечное магнетосопротивление. Существует также и продольное магнетосопротивление, измеряемое в магнитном поле, параллельном току.
2) Следует иметь в виду, что сила Лоренца не одинакова для всех электронов, поскольку она зависит от скорости электрона v. Поэтому силу f в уравнении (1.12) нужно считать средней силой в расчете на один электрон (см. примечание 2 на стр. 26). Поскольку, однако, зависимость этой силы от того, на какой электрон она действует, содержится лишь в члене, линейном по скорости электрона, среднее значение силы получается просто путем замены этой скорости на среднюю скорость p/m. Теория металлов Друде
29
В стационарном состоянии ток не зависит от времени, поэтому рх и ру удовлетворяют уравнениям
0= —еЕх — (acpy р
0= -eEy + (ucPx-
т >
(1.17)
Py
T '
где
«с = — . (1.18)
с тс 4 '
Умножая эти уравнения на —пе%!т и вводя компоненты плотности тока (1.4), находим
O0Ex = WcTjv + Jx, O0Ey = -WcTjx + Jv,
где Ct0 — статическая электропроводность для модели Друде в отсутствие магнитного поля, описываемая выражением (1.6).
Поле Холла Ey определяется из требования обращения в нуль поперечного тока Jy. Полагая jv равным нулю во втором уравнении (1.19), получаем
= --(?),„ (1.20)
Следовательно, для коэффициента Холла (1.15) имеем
R11=--—. (1.21)
пес 4
Это поразительный результат: согласно ему, коэффициент Холла не зависит ни от каких параметров металла, кроме плотности носителей. Выше мы уже вычисляли п, предполагая, что валентные электроны атома в металле превращаются в электроны проводимости. Измерение коэффициента Холла дает прямой способ проверки справедливости такого предположения.
При попытках определить плотность электронов п, используя результаты измерений коэффициентов Холла, возникает трудность, связанная с тем, что в действительности в противоречие с формулой (1.21) эти коэффициенты обычно зависят от магнитного поля. Кроме того, они зависят от температуры и от того, насколько тщательно приготовлен образец. Это кажется довольно странным, поскольку время релаксации, которое может сильно зависеть от температуры и состояния образца, в (1.21) не фигурирует. Тем не менее при самых низких температурах для очень чистых, тщательно приготовленных образцов в чрезвычайно сильных полях измеряемые значення постоянной Холла, по-видимому, действительно стремятся к некоторому пределу. Согласно более сложной теории, излагаемой в гл. 12 и 13, для многих (но пе всех) металлов такие предельные значения точно определяются простым выражением (1.21), получаемым в модели Друде.
Коэффициенты Холла для некоторых металлов в сильных и промежуточных полях приведены в табл. 1.4. Обратите внимание на наличие положительных значений Rh, что, очевидно, соответствует положительно заряженным носителям. Поразительный пример наблюдаемой зависимости от поля, которая совершенно не объясняется теорией Друде, изображен на фиг. 1.4.
Теоретический результат Друде подтверждает экспериментальное наблюдение Холла, не обнаружившего зависимости сопротивления от поля. Действи- зо
Глава 1
Таблица 1.4
Коэффициенты Холла некоторых металлов для полей от промежуточного до сильного а)
Металл Валентності. — 1 /Rjj пес
Li 1 0,8
Na 1 1,2
К 1 1,1
Rb 1 1,0
Cs 1 0,9
Cu 1 1,5
Ag 1 1,3
Au 1,5
Be 2 —0,2
Mg 2 —0,4
In 3 —0,3
Al 3 -0,3
а) Грубо говоря, в таблице приведены значения, к которым стремится Яд- для тщательно приготовленных образцов в пределе, когда поле становится очень большим (порядка 10* Гс), а температура — очень низкой. Приведенные данные представляют собой отношение по/п, где по — плотность носителей, для которой значение Rg, рассчитанное по формуле Друде (1.21), совпадает с измеренным: по = — 1 /Rhcc- Видно, что для щелочных металлов результат Друде выполняется достаточно хорошо, для благородных металлов (Cu, Ag, Au) — хуже, а для остальных, указанных в таблице, не выполняется совсем.
тельно, при /у = 0 (как это имеет место в стационарном состоянии, когда поле Холла уже установилось) первое из уравнений (1.19) сводится к уравнению jx = а0Ех, т. е. проводимость имеет такую же величину, как и в нулевом магнитном поле. Однако, как показали более точные эксперименты на многих
Фиг. 1.4. Зависимость величины njn = —i/RHnec от сост для алюминия. (Из работы [5].)
Значение плотности п в модели свободных электронов найдено по номинальной химической валентности, равной в данном случае трем. Значение п Jn в сильных полях показывает, однако, что на элементарную ячейку приходится лишь один носитель, причем положительно заряженный.
металлах, в действительности сопротивление обнёруживает зависимость от магнитного поля, в ряде случаев очень сильную. Объяснение того, почему теория Друде оказывается применимой для одних металлов, а для других возникают такие разительные расхождения, тоже должна дать квантовая теория твердого тела. Теория металлов Друде
31
Прежде чем завершить обсуждение статических явлений в однородном магнитном поле, отметим для последующего, что для характеристики напряженности магнитного поля удобно использовать безразмерную величину сост, играющую в теории важную роль. Когда величина сост мала, из уравнений (1.19) следует, что ток j почти параллелен Е, как это было бы в отсутствие магнитного поля. В общем случае ток j направлен к E под углом ср (называемым углом Холла). Из уравнений (1.19) следует, что tg ср = сост. Величина сос, называемая циклотронной частотой, представляет собой просто круговую частоту *) вращения свободного электрона в магнитном поле Н. Произведение сост мало, если электроны между столкновениями могут проделать лишь малую часть оборота, и велико, если они могут совершить много оборотов. Иначе говоря, когда шст < 1, магнитное поле лишь слегка деформирует орбиты электронов, а когда величина сост сравнима с единицей и больше, то влияние магнитного поля на орбиты электронов становится преобладающим. Для численной оценки циклотронной частоты удобна формула
