Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1J Изменение температуры на расстоянии ? равно ее изменению на длине образца L, умноженному на ( ^ IL).
Высокая температура
Ж
Низкая температура
Фиг. 1.6. Схематическое изображение соотношения между градиентом температуры и потоком тепла.
Электроны, приходящие в центр стержня слева, испытали предыдущее столкновение в области с высокой температурой. Электроны, приходящие в центр справа, испытали последнее столкновение в области с; низкой температурой. Следовательно, электроны, движущиеся в центре слева направо, обладают в среднем более высокой энергией по сравнению с движущимися в обратном направлении; в результате возникает суммарный поток тепла, направленный вправо. 38
Глава 1
и произвести усреднение по всем возможным направлениям скорости. Поскольку !) (у«> = (V2y) = (vl) = 1Z3V2 и ndlldT = (N/V) d%!dT = (d.E/dT)/V = cv, где cr — электронная удельная теплоемкость, имеем
= (-VT), (1.50)
или
К =:-1 ^TC0 = у /ус„, (1-51)
где V2 — средний квадрат скорости электрона.
Подчеркнем, что проведенные рассуждения нельзя считать строгими. Так, мы весьма свободно говорили о приходящейся на один электрон тепловой энергии, переносимой отдельными группами электронов, а между тем эту величину трудно определить точно. Кроме того, на различных стадиях расчета мы довольно беззаботно заменяли величины их тепловыми средними значениями. Можно было бы, например, возразить, что если тепловая энергия, приходящаяся на один электрон, зависит от направления, откуда приходят электроны, от него будет зависеть и их средняя скорость, поскольку она тоже зависит от температуры в месте их последнего столкновения. Ниже мы заметим, что последнее упущение компенсируется другой допущенной нами ошибкой; в гл. 13 с помощью более строгих рассуждений мы покажем, что результат (1.51) очень близок к правильному (и при особых обстоятельствах является точным).
Исходя из формулы (1.51) и поделив коэффициент! теплопроводности на коэффициент электропроводности (1.6), можно получить еще одно выражение, которое уже свободно от таинственности, присущей времени релаксации т:
х _1IacVrnv" /л с<)\
пе2 • ^'0^
Естественно, что при расчетах электронной удельной теплоемкости и среднеквадратичной скорости Друде воспользовался законами классического идеального газа. Поэтому он фактически положил теплоемкость Cv равной 3/2пкв, а величину 1I2Ttiv2 — равной s/2kBT, где кв —• постоянная Больцмана, кв = = 1,38-IO-16 эрг/К. Это приводит к следующему результату:
(^)V. (1.53)
Величина в правой части равенства (1.53) зависит лишь от фундаментальных постоянных кв и е и пропорциональна T в полном соответствии с законом Видемана — Франца. Из (1.53) получаем значение числа Лоренца 2)
J^ = I (J^)2 = 1,24. ІО-^ізрг/ед. СГСЭ.К)2 = 1,11 Ю"8 Вт.Ом/К2, (1.54)
что составляет примерно половину типичных значений числа Лоренца, приведенных в табл. 1.6. В своем первоначальном расчете электропроводности Друде ошибся в два раза и получил результат, вдвое меньший правильного (1.6), и поэтому найденное им значение к/оТ = 2,22-IO"8 Вт-Ом/К2 оказалось в превосходном согласии с экспериментом.
1I В равновесии распределение по скоростям является изотропным. Поправки к нему за счет градиента температуры чрезвычайно малы.
2) Поскольку (Дж/Кл)2 = (Вт/А)2 = Вт-Ом, практические единицы, в которых при-
водят значения чисел Лоренца, часто называют не (Дж/Кл-К)2, а Вт-Ом/К2. Теория металлов Друде
39
Этот успех, хотя и случайный, был настолько впечатляющим, что стимулировал дальнейшие исследования модели Друде. Все же он казался весьма загадочным, ибо никогда наблюдаемый вклад электронов в удельную теплоемкость не имел величины хотя бы отдаленно сравнимой с 3/2пкв. Действительно, результаты измерений показывают, что при комнатной температуре электроны, по-видимому, вообще не дают вклада в теплоемкость. Как мы увидим в гл. 2, законы классического идеального газа неприменимы для электронного газа в металле. Поразительный успех модели Друде был связан с тем, что в его расчетах, помимо ошибки в два раза, содержались две другие ошибки, примерно на два порядка каждая, которые компенсировали друг друга: при комнатной температуре реальный электронный вклад в удельную темплоемкость примерно в 100 раз меньше предсказываемого классически, а средний квадрат скорости электрона — примерно в 100 раз больше.
Корректная теория равновесных тепловых свойств свободного электронного газа рассматривается в гл. 2, а более точный анализ теплопроводности металла проводится в гл. 13. Однако прежде чем закончить обсуждение вопроса о переносе тепла, мы должны уточнить одно обстоятельство, которым мы пренебрегли в нашем слишком упрощенном анализе и за которым скрывается важное физическое явление.
При расчете теплопроводности мы не учитывали эффектов, связанных с градиентом температуры, за исключением того, что считали энергию, переносимую группой электронов, зависящей от температуры в месте их последнего столкновения. Но если после столкновения, происходящего в области, где температура выше, электроны обладают более высокими энергиями, то тогда они имеют также и более высокие скорости. Поэтому, казалось бы, мы должны учитывать, что не только вклад электрона в тепловую энергию, но и его скорость V зависит от того, в каком месте произошло последнее столкновение. Оказывается, что такой добавочный член изменяет результат на множитель порядка единицы; тем не менее фактически мы были правы, когда пренебрегали этой поправкой. Действительно, сразу после создания градиента температуры электроны обладают отличной от нуля средней скоростью, направленной в сторону области с более низкой температурой. Однако, поскольку электроны несут заряд, наличие такой скорости приведет к возникновению электрического тока. Но измерения теплопроводности обычно проводятся при разомкнутой цепи, когда электрический ток не может идти. Поэтому электрический ток существует лишь до тех пор, пока на поверхности образца не накопится заряд, достаточный для создания замедляющего электрического поля, которое противодействует дальнейшему накоплению заряда и поэтому в точности компенсирует влияние градиента температуры на среднюю скорость электронов 1). Когда стационарное состояние достигается, электрический ток прекращается; таким образом, мы были правы, предполагая, что в каждой точке средняя скорость электронов равна нулю.
