Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для описания отдельного электрона необходимо знать его волновую функцию гр (г) и указать, какое из двух возможных направлений имеет спин электрона. В отсутствие взаимодействия одноэлектронная волновая функция, соответствующая уровню энергии Ш, удовлетворяет не зависящему от времени уравнению Шредингера 3):
-ійг (Sr-+ W-+ Sr) * W= M='^ (г). (2.4)
Чтобы учесть, что движение электрона ограничено объемом V металла (благодаря притяжению к ионам), необходимо ввести граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (2.4). В задачах, не связанных с рассмотрением поверхностных эффектов, выбор такого граничного усло-
1J Всюду в настоящей главе мы понимаем под «электронным газом» газ свободных и независимых электронов (см. стр. 20—21), за исключением лишь тех случаев, когда в явном виде рассматриваются поправки, обусловленные электрон-электронным и электрон-ионным взаимодействиями.
2) Здесь и далее термин «состояние» везде использован для обозначения состояния Аг-электрошгои системы, тогда как для обозначения состояния отдельного электрона применяется термин «уровень». (При переводе в ряде случаев, где это не может привести к неоднозначности, мы, следуя установившейся в отечественной литературе терминологии, называем «состоянием» состояние отдельного электрона.— Прим. перев.)
3) Мы воспользовались также приближением свободных электронов, вследствие чего в уравнении Шредингера отсутствует член с потенциальной энергией. 46
Глава 1
вия остается в большой мере произвольным и может быть произведен исходя из удобства вычислений. Естественно ожидать, что при достаточно больших размерах металла его объемные свойства не будут зависеть от детального вида поверхности Помня об этом, выберем такую форму объема металла, которая наиболее удобна с вычислительной точки зрения. Традиционно выбирают куб 2) со стороной L = V1'Ч
Теперь мы должны дополнить уравнение Шредингера (2.4) граничным условием, отражающим тот факт, что электрон удерживается внутри куба. При этом мы должны быть уверены, что выбор граничного условия не повлияет на рассчитываемые объемные характеристики. Одна из возможностей — потребовать, чтобы волновая функция if (г) обращалась в нуль в точках г, лежащих на поверхности куба. Однако такой выбор часто оказывается не вполне удовлетворительным, поскольку тогда решения уравнения (2.4) имеют вид стоячих волн, в то время как явления переноса заряда и энергии электронами намного удобнее анализировать, используя бегущие волны. Более приемлемым оказывается другой путь — вообще избавиться от поверхности, подчеркнув тем самым, что ее наличие не имеет значения. Это можно сделать, представив, что каждая из граней куба соединена с противоположной ей гранью; тогда электрон, подходящий к поверхности, не отражается обратно, а выходит из металла и одновременно возвращается в него в соответствующей точке на противоположной поверхности. Если бы металл был одномерным, то это означало бы, что отрезок прямой от 0 до L, в котором содержатся электроны, заменяется окружностью длиной L. В трехмерном случае геометрическое осуществление подобного граничного условия, которое приводило бы к соединению всех трех пар противоположных граней куба, оказывается топологически недопустимым. Однако в аналитическом виде такое граничное условие легко обобщить и на этот случай. В одномерном случае «круговая» модель металла приводит к граничному условию if (XjrL) = if \х); для трехмерного куба его обобщение очевидно:
if (х, у, Z + L) = if (х, у, z),
if (х, у + L, z) = If (х, у, z), (2.5)
if (x + L, у, z) = if (х, у, z).
Соотношения (2.5) называют граничными условиями Борна — Кармана (или периодическими граничными условиями). Нам они будут встречаться еще часто (иногда в несколько обобщенном 3) виде).
Теперь найдем решение, удовлетворяющее граничным условиям (2.5). Как можно проверить непосредственным дифференцированием, решение уравнения (2.4), если пренебречь граничными условиями, имеет вид
!fk (г) =-J^eik •'•; (2.6)
при этом
__S(k) = 4ur-. (2-7>
Подобный подход является общепринятым в макроскопических теориях. Для многих проблем независимость обтемных свойств от граничных условий может быть в настоящее время строго доказана. Для теории твердого тела наибольшее значение имеет работа Лебо-вица и Либа [1].
2) Впоследствии мы увидим, что гораздо удобнее выбирать не куб, а параллелепипед с неравными и неперпендикулярны.мп ребрами. Пока же, чтобы избежать несущественных геометрических сложностей, будем рассматривать куб. Полезно, однако, показать в качестве упражнения, что все результаты этого раздела остаются в силе и для параллелепипеда.
3) См. примечание 2. Теория металлов Зоммерфельда 47
где к — любой вектор, не зависящий от пространственных координат. Мы выбрали в (2.6) нормировочный множитель таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона где-либо во всем объеме V была равна единице:
1 = j dt I (г) I2. (2.8)
Чтобы понять смысл вектора к, заметим, что волновая функция i^u (г)к представляет собой собственную функцию оператора импульса:
