Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
lI2Tnvl = 3U^bT- Подставляя сюда известную массу электрона, находим, что V0 имеет порядок IO7 см/с при комнатной температуре и, следовательно, длина свободного пробега составляет от 1 до 10 A . Так как это расстояние сравнимо с межатомным, результат вполне согласуется с предположением Друде о том, что столкновения объясняются соударениями электрона с большими тяжелыми ионами. Теория металлов Друде 25
Таблица 1.3
Времена релаксации (Ю-14 с), рассчитанные по теории Друде а)
Элемент 77 К 27Л К 37 3 К
Li 7,3 0,88 0,61
Na 17 3,2
К 18 4,1
Rb 14 2,8
Cs 8,6 2,1
Cu 21 2,7 1,9
Ag 20 4,0 2,8
Au 12 3,0 2,1
Be 0,51 0,27
Mg 6,7 1,1 0,74
Ca 2,2 1,5
Sr 1,4 0,44
Ba 0,66 0,19
Nb 2,1 0,42 0,33
Fe 3,2 0,24 0,14
Zn 2,4 0,49 0,34
Cd 2,4 0,56
Hg 0,71
Al 6,5 0,80 0,55
Ga 0,84 0,17
In 1,7 0,38 0,25
Tl 0,91 0,22 0,15
Sn 1,1 0,23 0,15
Pb 0,57 0,14 0,099
Bi 0,072 0,023 0,016
Sb 0,27 0,055 0,036
а) Времена релаксации рассчитаны по формуле (1.8), исходя нз данных, приведенных в табл. 1.1 и1 1.2. Слабой зависимостью п от температуры пренебрегаем.
Однако в гл. 2 мы увидим, что классическая оценка при комнатной температуре дает значение V0 на порядок величины меньше действительного. Кроме того, из табл. 1.3 следует, что при наиболее низких температурах т на порядок величины больше, чем при комнатной температуре. Поскольку V0 в действительности не зависит от температуры (мы увидим это в гл. 2), то оказывается, что при низких температурах длина свободного пробега может возрасти до IO3 и более ангстрем, т. е. в тысячу раз превышать межионное расстояние. В настоящее время, работая при достаточно низких температурах с тщательно приготовленными образцами, можно достичь средних длин свободного пробега порядка 1 см (т. е. около IO8 межатомных расстояний). Это явно указывает на то,-что электроны не просто соударяются с ионами, как предполагал Друде.
К счастью, однако, мы можем продолжать использовать для расчетов модель Друде, хотя и не совсем точно понимаем природу столкновений. Не имея теории времени свободного пробега, важно найти такие предсказания модели Друде, которые не зависят от величины времени релаксации т. Оказывается, существует несколько подобных не зависящих от т величин, которые и сегодня 26
Глава 1
по-прежнему представляют фундаментальный интерес, поскольку во многих отношениях точное количественное рассмотрение времени релаксации остается наиболее слабым звеном в современных теориях проводимости металлов. В результате не зависящие от т величины представляют особую ценность, потому что часто они дают наиболее надежную информацию.
Особенно важны два случая: расчет электропроводности при наличии пространственно-однородного постоянного магнитного поля и при наличии пространственно-однородного, но зависящего от времени электрического поля. В обоих этих случаях удобно воспользоваться следующим замечанием.
В каждый момент времени t средняя скорость электронов V равна р (t)/m, где р — средний импульс, т. е. полный импульс, приходящийся на один электрон. Следовательно, плотность тока
Пусть в момент времени /средний импульс электрона есть р (t). Вычислим тогда р (t + dt) — средний импульс одного электрона по истечении бесконечно малого промежутка времени dt. Вероятность того, что взятый наугад в момент t электрон испытал столкновение до момента t + dt, равна dt/x, поэтому вероятность того, что он «доживет» до момента времени t + dt без столкновений, есть 1 — dt/x. Однако, когда электрон не испытывает столкновений, он просто движется под действием силы f (t) [обусловленной пространственно-однородными электрическим и (или) магнитным полями] и приобретет поэтому дополнительный импульс *) f (t) dt + О (dt)2. Электроны, не испытавшие столкновений в интервале между моментами времени t и t + dt, вносят в импульс, приходящийся на один электрон в момент t + dt, вклад, равный произведению величины (1 — dt/x) (т. е. отношения числа таких электронов к полному их числу) на средний импульс одного такого электрона р (t) + f (t) dt + О (dt)2.
Поэтому, пренебрегая пока вкладом в р (t + dt) от тех электронов, которые испытали столкновение за время между t и t + dt, получаем 2)
р (* + dt) = (1 —) [р (t) + і (t) dt + O (dt)*] =
= PW-(4") P (t) + i(t)dt + 0(dt)*. (1.10)
Поправка к (1.10) за счет электронов, испытавших столкновение в интервале от t до t + dt, оказывается лишь порядка (dt)2. Чтобы показать это, вначале заметим, что отношение числа таких электронов к полному числу электронов равно dt/x. Кроме того, поскольку непосредственно после столкновения скорость (и импульс) электрона направлены случайным образом, каждый такой электрон будет давать вклад в средний импульс р (t + dt) лишь благодаря тому, что за время после последнего столкновения он приобрел за счет силы f некоторый импульс. Эгот импульс приобретается за промежуток времени, не превышающий dt, и поэтому имеет порядок f (t) dt. Следовательно, поправка к (1.10) оказывается порядка (dt/x) f (t) dt и не влияет на члены, линейные по dt. Таким образом, можно записать
