Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
j = Yiex • (1.4)
В любой точке металла электроны всегда движутся в самых различных направлениях и обладают разными тепловыми скоростями. Суммарная плотность тока дается выражением (1.4), где v — средняя скорость электронов.
1J В приближении свободных и независимых электропов такой механизм является единственно возможным.
2) В общем случае E и j не обязательно параллельны друг другу. Тогда вводят тензор удельного сопротивления. См. гл. 12 и 13. Теория металлов Друде
23
В отсутствие электрического поля все направления движения электронов равновероятны и среднее значение v обращается в нуль, а соответственно суммарная плотность тока также равна нулю. В присутствии поля E средняя скорость электронов отлична от нуля и направлена противоположно полю (так как заряд электрона отрицателен). Эту скорость можно рассчитать следующим образом.
Рассмотрим какой-либо электрон в нулевой момент времени. Пусть t — время, прошедшее после его последнего столкновения. Скорость этого электрона в нулевой момент времени будет равна его скорости V0 непосредственно после столкновения плюс дополнительная скорость —еШ/тп, которую электрон приобрел после столкновения. Так как мы предполагаем, что после столкновения скорость электрона может иметь любое направление, вклад от V0 в среднюю скорость электронов равен нулю, и поэтому она равна среднему значению величины —еШІт. Однако среднее значение t равно времени релаксации т. Поэтому имеем
еЕт . / пе2% \ т, п
Vcp=--—, Ї = ( —)ь. (1.5)
Этот результат обычно формулируют, используя характеристику, обратную удельному сопротивлению,— проводимость а = 1/р:
j=aE; а = —. (1.6)
Таким образом, мы получили линейную зависимость j от E и нашли для проводимости а выражение, в которое входят только известные величины и время релаксации т. Следовательно, используя (1.6) и наблюдаемые значения удельного сопротивления, можно определить величину времени релаксации:
Т = (-Л. (1.7)
Ipne2 v >
В табл. 1.2 приведены удельные сопротивления некоторых типичных металлов при различных температурах. Обратите внимание на его сильную температурную зависимость. При комнатной температуре удельное сопротивление зависит от T примерно линейным образом, но при достижении низких температур оно резко уменьшается. При комнатной температуре удельные сопротивления обычно имеют порядок одного микроом-сантиметра (мкОм-см) или, в принятых в атомной физике единицах,—порядок IO-18 ед.СГСЭ Если Ptl — удельное сопротивление, выраженное в мкОм -см, соотношение (1.7) для времени релаксации удобно записать в виде
Чтобы перевести удельные сопротивления, выраженные в мкОм-см, в единицы СГСЭ, заметим, что при удельном сопротивлении проводника 1 мкОм-см и плотности тока 1 А/см2 создается электрическое поле, равное IO-6 В/см. Поскольку 1 А равен 3-10» ед. СГСЭ, а 1 В равен 1/300 ед. СГСЭ, при удельном сопротивлении 1 мкОм-см возникает поле 1 ед. СГСЭ, когда плотность тока равна 300 • 10е-3ед. СГСЭ. В единицах СГСЭ при удельном сопротивлении величиной в 1 ед. СГСЭ напряженность поля, равная 1 ед. СГСЭ, создается током с плотностью 1 ед. СГСЭ. Таким образом, 1 мкОм-см эквивалентен V9-IO"1' ед. СГСЭ. Чтобы не пользоваться единицами удельного сопротивления СГСЭ, можно при расчете по формуле (І.7) выражать р в Ом-м, т в килограммах, е в кулонах, а п считать числом электронов на 1 м3. (Замечание. Наиболее важные формулы, константы и переводные коэффициенты, используемые в гл. 1 и 2, приведены в приложении А.)
(Размерность ст есть (секунда)-1, а размерность р — секунда. Действительно, легко убедиться, что \пег1т\ = с-2 [см. формулу (1.6)]. — Прим. ред.) 24 Глава 1
Таблица 1.2
Удельные электрические сопротивления некоторых элементов")
(.0/Г) к
Элемент 77 К 273 К 373 К .
' 2 73 к
Li 1,04 8,55 12,4 1,06
Na 0,8 4,2 Плавится
К 1,38 6,1 »
Rb 2,2 11,0 »
Cs 4,5 18,8 »
Cu 0,2 1,56 2,24 1,05
Ag 0,3 1,51 2,13 1,03
Au 0,5 2,04 2,84 1,02
Be 2,8 5,3 1,39
Mg 0,62 3,9 5,6 1,05
Ca 3,43 5,0 1,07
Sr 7 23
Ba 17 60
Nb 3,0 15,2 19,2 0,92
Fe 0,66 8,9 14,7 1,21
Zn 1,1 5,5 7,8 1,04
Cd 1,6 6,8
Hg 5,8 Плавится Плавится
Al 0,3 2,45 3,55 1,06
Ga 2,75 13,6 Плавится
In 1,8 8,0 12,1 1,11
Tl 3,7 15 22,8 1,11
Sn 2,1 10,6 15,8 1,09
Pb 4,7 19,0 27,0 1,04
Bi 35 107 156 1,07
Sb 8 39 59 1,11
а) Удельные сопротивления, выраженные в мкОм-см, указаны для температур 77 К (точка кипения жидкого азота при атмосферном давлении), 273 и 373 К. Для того чтобы продемонстрировать примерно линейную температурную зависимость сопротивления при температурах, близких к комнатной, в последнем столбце приведено отношение величин р/Т при 373 и 273 К. (Из справочника Кэя и Лэби [3].)
Времена релаксации, рассчитанные по формуле (1.8) с использованием удельных сопротивлений, приведенных в табл. 1.2, даны в табл. 1.3. Мы видим, что при комнатных температурах т оказывается порядка IO-14—IO-15 с. Чтобы понять, является ли это разумным значением, полезнее рассмотреть среднюю длину свободного пробега -б — где V0 — средняя скорость электронов. Длина S характеризует среднее расстояние, проходимое электроном между столкновениями. Во времена Друде было естественным оценивать V0 исходя из классического закона равнораспределения энергии по степеням свободы:
