Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так мы приходим к рассмотрению еще одного физического эффекта: при наличии градиента температуры в длинном и тонком стержне в нем должно возникать электрическое поле, направленное противоположно градиенту температуры. О существовании такого поля, называемого термоэлектрическим, известно уже довольно давно (эффект Зеебека). Это поле обычно записывают как
E = QVT; (1.55)
Ср. аналогичное обсуждение возникновения поля Холла на стр. 27. 40
Глава 1
коэффициент пропорциональности Q называется дифференциальной термоэлектродвижущей силой (или дифференциальной термо-э. д. е.). Чтобы рассчитать Q, заметим, что в нашей «одномерной» модели средняя скорость электронов в точке X, возникающая из-за градиента температуры, равна
vQ = Y И* — f*) — W (г+ ft)] = — xv-^ = — T-J^ . (1.56)
Мы опять можем перейти к случаю трех измерений х), полагая V2 v? и замечая, что (vi) = (vi) = (vi) = 1I3V2; тогда
v«=-<r^r(vr)- (1-57)
Средняя скорость, вызываемая электрическим полем 2), есть
(1-58)
Чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ условие Vq -f- \Е = 0, мы должны положить
O-(Ti)-S-jT--^' ('•«)
Этот результат вновь не зависит от времени релаксации. Оценивая его, Друде еще раз необоснованно применил классическую статистическую механику и, положив теплоемкость Cv равной Зпкв12, нашел
Q = —If"= -0,43-10"4 В/К. (1.60)
Реально наблюдаемые при комнатных температурах в металлах дифференциальные термо-э. д. с. имеют порядок 1 мкВ/К, т. е. в 100 раз меньше. Это та же самая ошибка в 100 раз, которая дважды фигурировала в проведенном Друде выводе закона Видемана — Франца; однако теперь она не компенсируется, что явно указывает на неадекватность классической статистической механики при описании электронного газа в металлах.
Расхождение устраняется при использовании квантовой статистической механики. Однако в некоторых металлах сам знак термо-э. д. е., т. е. направление термоэлектродвижущего поля, противоположен предсказываемому моделью Друде. Это такая же загадка, как и расхождение в знаке коэффициента Холла. Квантовая теория твердого тела может объяснить также и обращение знака термо-э. д. е., но в данном случае ее триумф оказывается довольно скромным, ибо подлинная количественная теория термоэлектрического поля до сих пор еще не создана. При последующем обсуждении мы отметим некоторые особенности этого явления, которые делают чрезвычайно трудным его точный расчет.
Из последних примеров ясно, что не имеет смысла развивать теорию свободных электронов без надлежащего использования квантовой статистики. Этому вопросу посвящена гл. 2.
ЗАДАЧИ
1. Распределение Пуассона
В модели Друде вероятность того, что электрон испытает столкновение за бесконечно малый промежуток времени dt, равна dt/т.
а) Покажите, что вероятность того, что электрон, случайно выбранный в данный момент времени, не испытал столкновения в предыдущие t секунд, равна Покажите, что с той же вероятностью он не испытает столкновения и в последующие t секунд.
1J См. также рассуждения, использованные при переходе от формулы (1.49) к формуле (1.50).
2) См. обсуждение на стр. 23. Теория металлов Друде
41
б) Покажите, что вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными столкновениями заключен В интервале между t И t + dt, есть (dtix)e~<^.
в) Исходя из результата «а» выведите, что усредненное по всем электронам время, прошедшее с момента последнего столкновения (или время до следующего столкновения), равно т.
г) Исходя из результата «б» выведите, что среднее время между двумя последовательными столкновениями электрона равно т.
д) Из результата «в» следует, что в любой момент время T между предыдущим и последующим столкновениями, усредненное по всем электронам, есть 2т. Объясните, почему это не противоречит результату, полученному в п. «г». (Полное объяснение должно включать вывод распределения вероятности для Т.) Друде не учел этой тонкости, поэтому найденное им выражение составило лишь половину от (1.6). Однако при вычислении теплопроводности он не сделал той же ошибки — отсюда множитель 2 в найденном им значении числа Лоренца (см. стр. 38).
2. Джоулево тепло
Рассмотрим металл при постоянной температуре в статическом однородном электрическом поле Е. Пусть электрон, испытавший вначале одно столкновение, по прошествии времени t испытывает второе. В модели Друде энергия в столкновениях не сохраняется, так как средняя скорость электрона сразу же после столкновения не зависит от той энергии, которую он получил от поля со времени предыдущего столкновения (предположение 4, стр. 22).
а) Покажите, что средняя энергия, переданная ионам во втором из этих двух столкновений, происходящем по истечении времени t, равна (eEt)2/2m. (Усреднение производится по всем направлениям движения электрона после первого столкновения.)
б) Используя результат задачи 1, п. «б», покажите, что средняя энергия, передаваемая от одного электрона за одно столкновение, равна (еЕт)г/т и поэтому средняя потеря энергии электронами в 1 см3 за 1 с равна (пе2/хт) E2 = аЕ2. Покажите, что мощность, теряемая в проводнике длиной L с поперечным сечением А, равна I2R, где I — ток в проводнике, a R — его сопротивление.
