Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
229"
где интеграл берется по всем заполненным уровням в зоне Бриллюэна Учитывая, что полностью заполненная зона не несет тока, т. е.
0= j "Sr V (k)= j -Srv(k) +
(По всей зоне) (По заполн. уровням)
+ J -Sr V (к), (12-2°)
(По незанолн. уровням)
выражение ^12.19) можно переписать в эквивалентной форме:
j = (-M j isrv(k). (12-21)
(По незанолн. уровням)
Следовательно, ток, получаемый при заполнении электронами определенной совокупности уровней, в точности совпадает с тем, который можно получить, если а) оставить эти уровни незаполненными и б) заполнить все остальные уровни в зоне Бриллюэна частицами с положительным зарядом -\-е (противоположным заряду электронов).
Таким образом, хотя единственными реальными носителями заряда являются электроны, мы можем, когда это удобно, считать, что ток полностью переносится фиктивными частицами с положительным зарядом, заполняющими все те уровни в зоне, которые не заняты электронами 2). Подобные фиктивные частицы называют дырками.
Если считать, что ток переносят не отрицательно зараженные электроны, а положительно заряженные дырки, то электроны лучше всего рассматривать просто как отсутствие дырок — уровни, занятые электронами, есть уровни, не занятые дырками. Подчеркнем, что для одной и той же зоны нельзя пользоваться сразу двумя способами описания. Если считать, что ток переносят электроны, то незаполненные уровни не дают в него никакого вклада; если же считать, что ток переносят дырки, то отсутствует вклад от электронов. Допустимо, однако, одни зоны описывать на языке электронов, а другие — на языке дырок, в зависимости от того, какой способ описания более удобен.
Чтобы теория дырок была законченной, следует дополнительно рассмотреть, как будет меняться со временем совокупность незаполненных уровней под влиянием внешних полей.
2. Незаполненные уровни в зоне эволюционируют со временем под воздействием внешних полей точно так же, как если бы они были заполнены реальными электронами (с зарядом —ё).
Это происходит потому, что при заданных значениях к и г в момент t = 0 полуклассические уравнения, будучи шестью уравнениями первого порядка для шести переменных, однозначно определяют к и г во все последующие (и предыдущие) моменты времени, аналогично тому как в классической механике положение и импульс частицы в произвольный момент времени полностью определяют всю ее орбиту в присутствии заданных внешних полей. На фиг. 12.5 условно, как линии в семимерном r/ct-пространстве, показаны орбиты, определяемые полуклассическими уравнениями. Поскольку любая точка орбиты
Это не обязательно те уровни, которые лежат ниже %F, ибо нас интересуют неравновесные распределения, возникающие под действием приложенного поля.
2) Отсюда в качестве частного случая следует утверждение, что заполненная зона не несет тока; заполненная зона не имеет незанятых уровней, поэтому в ней отсутствуют фиктивные положительные носители. :230
Глава 12
однозначно задает всю орбиту, никакие две различные орбиты не могут иметь общих точек. Поэтому мы можем разделить орбиты на занятые и незанятые в зависимости от того, содержали ли они в момент Z = O занятые или незанятые точки. В любой момент времени после Z = O незанятые уровни будут лежать на незанятых орбитах, а занятые уровни — на занятых. Поэтому эволюция как занятых, так и незанятых уровней полностью определяется видом орбит. Но вид орбиты зависит только от формы полуклассических уравнений (12.6), а не от того, имеется ли в действительности на данной орбите электрон.
3. Поэтому, чтобы определить поведение дырки, достаточно установить, как реагирует на приложенные поля электрон. Движение электрона определяется полуклассическим уравнением
Йк = (-е) (E+4-vxh). (12.22)
В какой мере орбита электрона будет напоминать орбиту свободной частицы с отрицательным зарядом, зависит от того, параллельно ли ускорение dv/dt
Фиг. 12.5. Схематическое изображение временной эволюции орбит в полуклассическом фазовом пространстве (г и к представлены как одна координата). Заполненная область в момент і определяется орбитами, которые находились в заполненной области в нулевой момент времени.
вектору к. Если ускорение противоположно вектору к, то электрон ведет себя подобно положительно заряженной свободной частице. Оказывается, что,
когда к — волновой вектор незанятого уровня, вектор к часто бывает направлен противоположно ускорению d\/dt. Это объясняется следующим образом.
При равновесии и при распределениях, близких к равновесному (обычно нас интересуют именно такие неравновесные электронные распределения), незанятые уровни часто лежат вблизи вершины зоны. Если энергия зоны % (к) имеет максимум при k = к0, то при к, достаточно близком к к0, мы можем разложить Щ (к) в точке к0 в ряд по степеням (к — к0) и оставить первые члены разложения. В максимуме линейный по к — к0 член исчезает. Кроме того, если предположить на время, что к0 — точка с достаточно высокой симметрией (например, кубической), то квадратичный член будет пропорционален (к — к0)2. Тогда
