Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
X > а, (12.11)
которое необходимо, чтобы ЕЕЄДЄНИЄ волновых пакетов вообще имело смысл *)
ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Как уже говорилось выше, уравнение (12.6а) эквивалентно утверждению, что скорость полуклассического электрона есть групповая скорость образую-пего его волнового пакета. Гораздо труднее обосновать уравнение (12.66). Оно выглядит вполне правдоподобным в случае постоянного электрического поля, ибо тогда оно простейшим способом обеспечивает сохранение энергии. Действительно, если поле задано выражением E = — V^, то каждый волновой пакет должен двигаться так, чтобы энергия
fn (к (г)) - еф (г (г)) (12.12)
а) Иногда необходимо учитывать другие квантовые эффекты, связанные с возможностью существования замкнутых электронных орбит в ^-пространстве в присутствии магнитного поля. Эту возможность учитывают путем остроумного обобщения полукласспче-ской модели, поэтому здесь не играют роли упомянутые выше ограничения. Подобная задача возникает в теории эффекта де Гааза — ван Альфена и близких к нему явлений и рассмотрена в гл. 14. :224
Глава 12
оставалась постоянной. Производная по времени от этой энергии равна
-?^-'к-еуф.т. (12.13)
С учетом (12.6а) ее можно записать в виде
vn (к)-[йк — еуф]. (12.14)
Она обращается в нуль, если
Лк = еуф= —еЕ, (12.15)
но это не что иное, как уравнение (12.66) в отсутствие магнитного поля. Однако выполнение уравнения (12.15) не необходимо для сохранения энергии, поскольку выражение (12.14) остается равным нулю и при добавлении к (12.15) любого вектора, перпендикулярного вектору v„ (к). Строгое доказательство того, что единственным дополнительным членом может быть [vn (k)/c] x H и что получающееся уравнение должно выполняться также и для полей, зависящих от времени, представляет собой очень трудный вопрос, который ниже не рассматривается. Недовольные читатели могут заглянуть в приложение 3, где приведены другие аргументы в защиту полуклассических уравнений. Там показано, что их можно записать в очень компактной гамильтоновой форме. Однако чтобы найти подлинно убедительное доказательство, следует серьезно углубиться в (непрерывно растущую) литературу по этому вопросу *).
СЛЕДСТВИЯ ПОЛУКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Остальная часть главы посвящена рассмотрению ряда важных следствий полуклассических уравнений движения. К систематическому рассмотрению теорий проводимости мы перейдем в гл. 13.
В большинстве последующих рассуждений одновременно рассматривается лишь одна зона; в связи с этим мы не указываем ее номера, исключая лишь случаи, когда проводится сравнение характеристик двух и более зон. Для простоты мы будем также считать, что электронная функция распределения отвечает нулевой температуре. В металлах конечность температуры чрезвычайно мало влияет на обсуждаемые ниже характеристики. Термоэлектрические эффекты в металлах обсуждаются в гл. 13, а в полупроводниках — в гл. 28.
По своему духу последующий анализ совершенно аналогичен проведенному ранее в гл. 1 и 2 при рассмотрении явлений переноса. Мы будем учитывать столкновения в рамках простого приближения времени релаксации и сосредоточим основное внимание на движении электронов в промежутках между столкновениями, которое определяется теперь (в отличие ot гл. 1 и 2) полуклассическими уравнениями движения (12.6)
ИНЕРТНОСТЬ ЗАПОЛНЕННЫХ ЗОН
В заполненной зоне все энергии лежат ниже Sf 2). Электроны заполненной зоны, волновые векторы которых занимают область А-пространства объемом dk, дают вклад dk/An3 в полную электронную плотность [см. (12.7)]. Поэтому число таких электронов в области координатного пространства объемом dr равно
*) См., например, уже упоминавшиеся работы [1, 2].
2) В общем случае энергии должны быть гораздо ниже химического потенциала ц,
отличаясь от него на столь большую (по сравнению с квТ) величину, чтобы фермиевскую функцию во всей зоне можно было считать равной единице. Полуклассическая модель динамики электронов
225"
dt dklAn3. Следовательно, в полуклассической модели заполненная зона характеризуется тем, что для нее плотность электронов в шестимерном гйг-простран-стве (называемом фазовым по аналогии с гр-пространством обычной классической механики) равна 1/4я3.
Полуклассические уравнения (12.6) требуют, чтобы заполненная зона оставалась заполненной для всех моментов времени, даже в присутствии электрических и магнитных полей, которые зависят от времени и пространственных координат. Это прямо следует из теоремы, которая представляет собой полуклассический аналог теоремы Лиувилля. Ее содержание таково
Возьмем любую область Qt шестимерного фазового пространства и рассмотрим точки г', к', в которые переходят точки г, к из области Qt за время от t до t', согласно полуклассическим уравнениям движения 2). Совокупность всех таких точек г', к' образует новую область Qt- (фиг. 12.2), объем которой совпадает с объемом области Qt: полуклассические уравнения движения сохраняют фазовые объемы.
Отсюда непосредственно следует, что, если плотность в фазовом пространстве в нулевой момент времени была равна 1/4я3, то она остается той же самой и в любой другой момент времени. Действительно, возьмем какую-либо область Q в момент времени t. Эта область в момент t содержит те электроны, которые в нулевой момент времени находились в некоторой другой области Q0, причем, согласно теореме Лиувилля, объем области Q0 равен объему Q. Поскольку эти две области содержат также одинаковое число электронов, в них плотности электронов в фазовом пространстве одинаковы. Если в момент t = О плотность была равна 1/4я3 независимо от выбора области, то в другой
