Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Проекцию r_|_ = г — H (Н-г) орбиты в реальном пространстве на плоскость, перпендикулярную полю, можно найти, умножив векторно обе части уравнения (12.33) на единичный вектор, направленны^ вдоль поля. Это дает
H X Йк =——Н(Н-г))=--'-J-T1 (12.34)
и после интегрирования
Гх W-T1 (0)= —H X (к(0-к (0)) (12.35)
Поскольку векторное произведение единичного вектора на вектор, ему перпендикулярный, равно этому вектору, повернутому вокруг единичного вектора на угол 90°, мы приходим к выводу, что проекция орбиты в реальном пространстве на плоскость, перпендикулярную полю, есть просто орбита в А-про-странстве, повернутая на 90° вокруг направления поля, причем размеры орбит относятся как Ъс/еН (фиг. 12.7) *).
Заметим, что в случае свсбодных5 электронов (<? = Ъ2к2/2т) поверхности постоянной энергии представляют собой сферы, пересечение которых с плоскостями дает окружности. Окружность, повернутая на 90°, остается окружностью. Таким образом, мы вновь получаем знакомый результат: если спроецировать движение свободного электрона на плоскость, перпендикулярную полю, он будет двигаться в этой плоскости по окружности. В более общем полуклассическом случае орбиты уже не обязательно будут круговыми, часто они оказываются даже незамкнутыми (фиг. 12.8).
Скорость прохождения орбиты в /^-пространстве можно выразить через геометрические характеристики зонной структуры. Рассмотрим орбиту с энергией лежащую в какой-либо плоскости, перпендикулярной полю (фиг. 12.9,а). Время, необходимое для прохождения части орбиты, заключенной между точками кх и к2, равно
'2 к2 Ok
t2 — tl=\dt=\—^~- (12.36)
-1) Движение в реальном пространстве в направлении, параллельном полю, не удается описать таким простым образом. Для поля, направленного вдоль оси г, получаем
(
ж M = Z(O)+ j vz (t) dt,
0 2
В отличие от случая свободных электронов теперь величина Vz не обязательно постоянна (хотя величина кг постоянна). Поэтому движение электрона вдоль поля может не быть равномерным. :234
Глава 12
.Исключая отсюда с помощью уравнений (12.32) и (12.33) величину к, получаем
Jfl к' dk
h — ti = -nr\ і (d%/dk) і (12.37)
kj
•где (дІІдk)j_ — составляющая вектора дШІдк, перпендикулярная полю, т. е» .проекция этого вектора на плоскость орбиты.
Величина I (djf/dk)jj имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть Д(к) — вектор, лежащий в плоскости орбиты, перпендикулярный орбите
kz, H
•Фиг. 12.7. Проекция орбиты в г-простраистве (б) на плоскость, перпендикулярную полю, получается из орбиты в ^-пространстве (а) путем изменения масштаба в отношении Hc/еН и поворота на 90° вокруг оси, определяемой вектором Н.
в точке к и соединяющий точку к с лежащей в той же плоскости орбитой, отвечающей энергии Ш + A Jf (фиг. 12.9, б). Когда величина AS очень мала, имеем
• A (k) = (_gt)±.A(k). (12.38)
АШ
дк
.Далее, поскольку вектор дШІдкі перпендикулярен поверхности постоянной энергии, вектор (д %1дк)х перпендикулярен орбите и, следовательно, параллелен вектору д (к). Поэтому соотношение (12.38) можно заменить соотношением
(-Ц-) I А (к) (12.39)
Ag =
и записать выражение (12.37) в виде
-U =
еН "ДЗ
к2
Jr j А (к) dk. ki
(12.40)
Интеграл в (12.40) равен площади участка плоскости, заключенного между двумя орбитами от точки кх до точки к2 (см. фиг. 12.9). Следовательно, беря
I/
J--[о/о]
[/00]
•Фиг. 12.8. Поверхность постоянной энергии с простой кубической симметрией, изображенная в схеме повторяющихся зон. При соответствующем выборе направления магнитного поля,пересечение такой поверхности плоскостью .дает открытые орбиты. Одна из таких орбит показана для магнитного поля, параллельного направлению [101]. Другой пример, относящийся к реальным металлам, приведен на стр. 292.
Фиг. 12.9. Изменение геометрии орбит (магнитное поле H направлено вдоль оси z). ¦а — участки двух орбит с одинаковым fc2, лежащие на поверхностях постоянной энергии g"4k) = gn Sg(k) = $ + Ag Время пролета между точками к, и к, определяется выражением (12.41). б — сечение участков орбит, изображенных на фиг. а, плоскостью, перпендикулярной вектору H и содержащей эти орбиты. Показаны элемент длины dh и вектор д(к). Площадь темной области равна (OAlllZd^)A g. :236
Глава 12
предел выражения (12.40) при А Ш ->- 0, получаем
r,2c дА. <,
^r-WT > (12-41)
где дА\л!д% — скорость изменения площади, заметаемой частью орбиты между точками It1 и к2 при увеличении Ш.
Выражение (12.41) обычно приводят для случая, когда орбита представляет собой простую замкнутую кривую. При этом точки ^ и к2 выбирают так, чтобы получился один полный замкнутый контур (т. е. полагают It1 = к2). Тогда величина Z2 — Z1 есть просто период движения по орбите Т. Если А — площадь области в ^-пространстве, которую окружает орбита в своей плоскости, то формула (12.41) дает х)
= (12.42)
Чтобы добиться большего сходства с выражением для свободных электронов, имеющим вид 2)
Г = — = (12.43)
Wc еН ' v '
обычно вводят эффективную циклотронную массу т* (<Ё, kz)
