Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
% (к) ^ I (к0)-Л (к-к0)2,
(12.23) Полуклассическая модель динамики электронов
231"
где коэффициент А положителен (ибо Щ имеет максимум в точке к0). Обычно определяют положительную величину т* с размерностью массы, полагая
^=A. (12.24)
Для уровней с волновыми векторами вблизи к0 справедливо соотношение
и, следовательно,
a=-J-v(k)=-^k, (12.26)
т. е. ускорение противоположно к.
Подставляя соотношение (12.26), связывающее ускорение с волновым вектором, в уравнение движения (12.22), находим, что, пока орбита электрона ограничена уровнями, расположенными достаточно близко к максимуму зоны, чтобы разложение (12.23) оставалось справедливым, рассматриваемый (отрицательно заряженный) электрон реагирует на движущие его поля так, как если бы он имел отрицательную массу —т*. Поменяв знак в обеих частях уравнения (12.22), мы можем с тем же успехом (и в гораздо большем согласии с интуитивными представлениями) считать, что это уравнение описывает движение положительно заряженной частицы с положительной массой тп*.
Поскольку реакция дырки совпадает с реакцией электрона, если бы он находился на незанятом уровне (см. выше п. 2), на этом завершается доказательство того, что дырки ведут себя во всех отношениях подобно обычным частицам с положительным зарядом.
Требование, чтобы незанятые уровни лежали вблизи точки максимума зоны с высокой симметрией, можно в значительной мере ослабить *). Можно предположить, что характер динамического поведения частицы будет
зависеть от того, какую величину имеет угол между вектором к и ускорением.
Если этот угол больше 90° (величина к-а отрицательна), поведение будет соответствовать положительному знаку заряда, в противном случае — отрицательному. Поскольку справедливо равенство
= = = (12.27)
а
достаточное условие отрицательности величины к -а имеет вид
S < 0 (для люб0Г0 вектора А). (12.28)
і.і 1
Когда к есть точка локального максимума функции Ш (к), условие (12.28) должно выполняться. Действительно,
если для какого-то вектора Aq неравенство было бы обратным, то при изменении к от «максимума» по направлению A0 энергия стала бы возрастать. Из соображений непрерывности следует, что условие (12.28) справедливо не только в самой точке максимума, но и в некоторой ее окрестности. Когда волновой вектор электрона остается внутри этой окрестности, электрон реагирует на внешние поля так, как если бы он имел положительный заряд.
*) Если форма незаполненной области в /с-пространстве очень сложна, то использование представления о «дырках» становится менее полезным. :232
Глава 12
Величину то*, определяющую динамику дырок вблизи точек максимума зоны с высокой симметрией, принято называть дырочной эффективной массой. В общем случае определяют тензор эффективной массы
где знаки «-{-» или «—» выбираются в зависимости от того, находится ли к вблизи минимума (для электронов) или максимума зоны (для дырок). Поскольку
a =^J-=+IVH (k) Uk, (12.30)
уравнение движения (12.22) принимает вид
М(к)а = + е(Е + 1у(к)хН). (12.31)
Тензор массы играет важную роль в определении динамики дырок, находящихся вблизи анизотропных максимумов (и электронов вблизи анизотропных минимумов). Если дырочный (или электронный) «карман» достаточно мал, тензор массы можно заменить его значением в точке максимума (минимума). В результате получаем линейное уравнение лишь немногим более сложное, чем для свободных частиц. Такие уравнения вполне точно описывают динамику электронов и дырок в полупроводниках (гл. 28).
ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Много важной информации об электронных свойствах металлов и полупроводников дают измерения их реакции на различные возмущения в присутствии постоянного магнитного поля. Brтаком поле полуклассические уравнения
приобретают вид
r = v(k) = 44^L, (12.32)
kz. H
1
ftk = (— е) V (k) x Н. (12.33)
Из них непосредственно следует, что компонента вектора к вдоль поля и энергия электрона Ш (к) представляют собой интегралы движения. Два этих закона сохранения полностью определяют орбиты электронов в й-пространстве. Электроны движутся вдоль кривых, которые определяются пересечением поверхностей постоянной энергии с плоскостями, перпендикулярными магнитному полю (фиг. 12.6).
Чтобы установить, в каком направлении происходит движение по орбите, заметим, что вектор v (к), будучи пропорциональным градиенту Ш по к, направлен в й-пространстве от более низких к более высоким энергиям. В сочетании с (12.33) это означает, что если вы «идете» в ft-пространстве по орбите в направ-
Фиг. 12.6. Пересечение поверхности постоянной энергии с плоскостью, перпендикулярной магнитному полю.
С трелками указано направление движения по орбите для случая, когда уровни, окружаемые этой поверхностью, имеют меньшую энергию по сравнению с лежащими снаружи. Полуклассическая модель динамики электронов
233"
лении движения электрона, а магнитное поле направлено от ваших ног к голове^ то справа будут расположены уровни с более высокой энергией. В частности, по замкнутым орбитам в ^-пространстве, окружающим уровни с энергиями выше энергии уровней на самой орбите {т. е. по дырочным орбитам), движение происходит в противоположном направлении по сравнению с электронными орбитами (т. е. с замкнутыми орбитами, окружающими уровни с более низкой энергией). Такой вывод согласуется с результатами, к которым мы пришли при обсуждении дырок, но является несколько более общим.
