Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Характерная длина изменения приложенного поля (штриховая линия) гораздо больше ширины волнового пакета электрона (сплошная линия), которая в свою очередь гораздо больше постоянной решетки.
поля обусловливают появление обычных классических сил в уравнениях движения, описывающих эволюцию координаты и волнового вектора волнового пакета. При рассмотрении полуклассической модели следует иметь в виду одну тонкость, из-за которой эта модель оказывается более сложной по сравнению с обычным классическим пределом свободных электронов. Она заключается в том, что характерная длина изменения периодического потенциала решетки мала по сравнению с шириной волнового пакета, поэтому такой потенциал нельзя рассматривать классически. Следовательно, полуклассическая модель представляет собой лишь частично классический предел: классически рассматриваются внешние приложенные поля, но не периодическое поле ионов.
ОПИСАНИЕ ПОЛУ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Полуклассическая модель позволяет предсказать, как в отсутствие столкновений меняются со временем координата г и волновой вектор к электрона 1J при наличии внешних электрических и магнитных полей. Такое предсказание можно сделать, исходя лишь из знания зонной структуры металла, т. е. вида функций ?п(к), и не используя никакой дополнительной информации о периодическом потенциале ионов. В полуклассической модели функции tn(к)] предполагаются известными, и метод их расчета не указывается. Цель модели состоит в установлении связи между зонной структурой и кинетическими характеристиками (т. е. реакцией электронов на приложенные внешние поля и градиенты температуры). Она применяется для расчета кинетических коэффициентов по заданной (вычисленной) зонной структуре, а также для определения свойств зонной структуры по наблюдаемым кинетическим характеристикам 2).
*) Теперь мы будем говорить, что электрон имеет определенный волновой вектор и координату. В действительности, конечно, имеется в виду волновой пакет указанного выше вида.
2) В полуклассической модели электрон проводимости — классическая частица со сложным законом дисперсии; при движении частицы во внешних полях %п (к) играет роль кинетической энергии (см. книгу [4*]).— Прим. ред. Полуклассическая модель динамики электронов
221"
При известных функциях 8rt(k) состояние электрона в полуклассической модели описывается его координатой г, волновым вектором к и номером зоны п. Считается, что в присутствии внешних электрических и магнитных полей E (г, г) и H (г, t) координата, волновой вектор и номер зоны электрона меняются со временем согласно следующим законам.
1. Номер зоны есть интеграл движения. Полуклассическая модель пренебрегает возможностью «межзонных переходов».
2. Изменение со временем координаты и волнового вектора электрона с данным номером зоны п определяется уравнениями движения
r = v„(k) = |-%^, (12.6а)
hk = - е [Б (г, <) + {vn (k) x H (г, О] . (12.66)
3. (Здесь мы еще раз перечислим те свойства полной квантовомеханиче-ской теории Блоха, которые сохранены в полуклассической модели.) Волновой вектор электрона определен лишь с точностью до слагаемого, равного вектору К обратной решетки. Не сущэствует двух различных электронов с одинаковыми номером зоны п и координатой г, но с волновыми векторами кик', отличающимися на вектор К обратной решетки; обозначения п, г, к и п, г, к + К представляют собой два совершенно эквивалентных способа описания одного и того же электрона *). Поэтому все физически различные волновые векторы одной зоны лежат в прэделах одной элементарной ячейки обратной решетки. При термодинамическом равновесии вклад в электронную плотность от электронов из п-й зоны с волновыми векторами, принадлежащими бесконечно малому элементу объема dk в fc-пространстве, дается обычным распределением Ферми
е " +1
КОММЕНТАРИИ И ОГРАНИЧЕНИЯ
ТЕОРИЯ С НОСИТЕЛЯМИ РАЗНЫХ ТИПОВ
Поскольку мы предполагаем, что приложенные поля не вызывают межзонных переходов, можно считать, что каждая зона содержит фиксированное число электронов определенного типа. Свойства этих типов электронов существенно различны для разных зон, поскольку характер движения электрона с номером зоны п зависит от вида функции S„(k) для этой зоны. В случае термодинамического равновесия (или в окрестности его) зоны, все энергии которых превышают энергию Ферми на величину, гораздо большую квТ, оказываются пустыми. Поэтому нет необходимости рассматривать бесконечное число типов носителей — достаточно учитывать лишь те из них, которые относятся к зонам с энергиями, отличающимися) от Шр на величину не более нескольких квТ.
х) Полуклассические уравнения движения (12.6) -сохраняют эту эквивалентность при временной эволюции. Вели г (t), k (t) дают решение для га-й зоны, то в силу периодичности функции cSn (к) решением будет и г ((), к (i) + К для любого вектора К обратной решетки.
а) Здесь предполагается, что взаимодействие спина электронов с магнитными полями не имеет значения; в противном случае каждая из групп электронов с определенным направлением спина дает свой вклад в плотность, равный половине от (12.7), причем функция Sn(к) должна включать в себя энергию взаимодействия спина с магнитным полем. :222
