Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
йк
L=
, , і = х (12-1) ftk= —е (E + f-v X HJ .
Для оправдания подобной процедуры с точки зрения квантовой механики можно сказать, что уравнения (12.1) в действительности описывают поведение волнового пакета, составленного из уровней свободных электронов:
Ч> (г, t) =2 Є (Ю exp3[;(k'.r-^)]. (12.2)
к'
g(k')«0, I к' — к I > Ak,
где гик — средние координата и импульс, вблизи которых сосредоточен волновой пакет (с учетом ограничения Ax Ак^> 1, налагаемого принципом неопределенности).
Этот подход допускает простое и изящное обобщение на случай электронов в произвольном периодическом потенциале, известное под названием полуклассической модели. Детально обосновать полуклассическую модель чрезвычайно сложно — гораздо сложнее, чем обычный классический предел для свободных электронов. В данной книге мы не даем систематического вывода. Нас интересуют главным образом применения полуклассической модели. Имея это Полуклассическая модель динамики электронов
217"
Таблица 12.1
Сравнение одноэлектронных стационарных уровней Зоммерфельда и Блоха
Зоммерфельд
Блох
Квантовые числа (кроме спина)
Область изменения квантовых чисел
Энергия
Скорость
Волновая функция
к (йк— импульс)
к принимает все значения в fc-пространстве, удовлетворяющие периодическому граничному условию Борна —Кармана
I (k) = Й3к3/2т
Средняя скорость электрона на уровне с волновым вектором к равна
_ Йк __ 1 д% т Hd к
Волновая функция электрона с волновым вектором к есть
eik-r
% W = -^TT
к, п (йк— квазиимпульс, п — номер зоны)
Для каждого п вектор к пробегает всеволновые векторы, принадлежащие одной элементарной ячейке обратной решетки и удовлетворяющие граничному условию Борна — Кармана; п принимает бесконечное число дискретных значений
Энергия %п (к) для заданного номера зоны п не может быть записана в виде простого явного выражения. Единственное общее свойство — периодичность в обратной решетке:
«n(k + K) = «„ (к)
Средняя скорость электрона на уровне с номером зоны п и волновым вектором к. равна
Волновая функция электрона с номером зоны п и волновым вектором к есть
Ц>„к<г) = е1к-Чк (').
где функция unk не может быть записана в виде простого явного выражения. Единственное ее общее свойство — периодичность в прямой решетке3)
Mnk(r + R)=Mnk(r)
а) Кроме того, Ifn к+к (Г) = Фп к (г).— Прим. ред.
в виду, мы просто приведем описание модели, сформулируем ограничения и рассмотрим ряд основных результатов, к которым она приводит 1J.
Читателю, которого не удовлетворит наше весьма неполное и нестрогое обоснование полуклассической модели, мы советуем обратить внимание на то, какое большое число загадок и противоречий теории свободных электронов устраняет эта модель. Видимо, имеет смысл придерживаться следующей точки зрения: если бы не было более фундаментальной микроскопической квантовой теории электронов в твердом теле, то тогда полуклассическая механика (угаданная каким-нибудь «Ньютоном от кристаллических пространств» в конце
х) Одна из последних попыток систематического обоснования содержится в с татье Зака [1]. Там же даны ссылки на более ранние работы. Весьма привлекательнее рассмотрение электронов в магнитном поле (область, по-видимому, наиболее трудная для вывода полуклассической модели) проведено Чамберсом [2], который в явном виде построил зависящий от времени волновой пакет с центром, движущимся по орбите, определяемой полуклассическим» уравнениями движения. :218
Глава 12
девятнадцатого вэка) вполне могла бы существовать в качестве самостоятельной теории; при этом она блестяще подтверждалась бы даваемым ею объяснением наблюдаемого движения электронов. Это было бы совершенно аналогично тому, что произошло с классической механикой: вначале ее подтверждением служило то объяснение движения планет, которое она дает, и лишь позднее огга получила более фундаментальное обоснование как предельная форма квантовой механики.
Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами *), возникают два вопроса: а) Какова природа столкновений? б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями? Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это предположение несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от температуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнения Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне IjJrik имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина <Мд(к)/дк случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго 2). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности.
