Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Эта и предыдущие три главы были посвящены абстрактным характеристикам зонной структуры. Перейдем теперь к изучению непосредственно паблю-
(11.36)
С
КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
1J Обзор, посвященный псевдопотенциалу и его применениям, можно найти в сборнике [17]. :214
Глава 12
даемых проявлений электронных энергетических зон. В гл. 12 и 13 обсуждаетоя обобщение теории эффектов переноса Друде и Зоммерфельда на случай блоховских электронов. В гл. 14 рассмотрен ряд способов прямого экспериментального определения поверхности Ферми. В гл. 15 описана зонная структура некоторых распространенных металлов.
ЗАДАЧИ
1. Граничные условия для волновых функции электронов в кристаллах
Пусть вектор г задает точку внутри элементарной ячейки Cu вблизи ее границы, а г' — другую точку, бесконечно мало удаленную от г, но лежащую снаружи ячейки. Уравнения непрерывности для і|; (г) имеют вид
Iim №(г)-г|з(г')] = 0, Iim [Vi|) (г) — Vi|)(r')] = 0. (11.37)
Г-.Г'
а) Покажите, что для всякой точки г на поверхности элементарной ячейки можно найти другую точку поверхности, отстоящую от первой на некоторый вектор R решетки Бравэ; такую, что нормали к поверхности ячейки в точках г и г -(- R имеют противоположные направления.
б) Воспользовавшись тем, что функция г|> может быть выбрана в блоховской форме, покажите, что для пар точек на поверхности, отстоящих друг от друга на вектор R прямой решетки, условия непрерывности можно записать, используя лишь те значения, которые функция принимает внутри элементарной ячейки:
ф(г) = в-ік-кг|) (r+R),
Vi|) (г) = е~ik ¦ RVI|> (Г + R).
в) Покажите, что единственная новая информация, которую дает второе из уравнений (11.38) и которая не содержится в первом из них, заключается в соотношении
п (Г). V^ (Г)= — e~ikRn (Г-j-R)• V-ф (r + R), (11.39)
где вектор п — нормаль к поверхности ячейки.
2. Воспользовавшись тем, что ППВ непрерывна на поверхностях, фигурирующих в определении МТ-потенциала, приведите аргументы, доказывающие, что ППВ Ф^+к <е удовлетворяет условию Блоха с волновым вектором к.
3. Интегральное уравнение для блоховской функции в периодическом потенциале имеет вид (11.21); для потенциалов МТ-типа область интегрирования в нем ограничена значениями
1 Г' і < г0
а) Исходя из определения S (11.22), покажите, что
(¦?^',+ї)\«(г-г')=б(г_г')> r'*'<r°- (11-4°)
б) Записав
покажите, что из формул (11.21), (11.40) и] уравнения Шредингера при г' < г0 следует соотношение
0= j dr'V'.[Sk^(k)(r-r') V4k(r')-.^k(r') V^k>^(k)(r-r')]. (11.41)
r'<r„
в) Используя теорему Гаусса, преобразуйте (11.41) в интеграл по поверхности сферы радиусом г' = г0 и покажите, что, когда радиус г также равен г0, отсюда следует соотношение (11.23).
(11.38) Другие методы расчета зонной структуры
215
ЛИТЕРАТУРА
1. Computational Methodsin Band Theory, eds. Marcus P. M., Janak J. F., Williams A. R., Plenum Press, New York, 1971.
2. Methods in Computational Physics: Energy Bands in Solids, vol. 8, eds. Alder B., Fernbach S., Rotenburg M., Academic Press, New York, 1968. (Имеется перевод в кн: Вычислительные методы в теории твердого тела.— M.: Мир, 1975.)
3. Matheiss L. F., Phys. Rev., 134, А970 (1964).
4. Wigner Е. P., Seitz F., Phys. Rev., 43, 804 (1933); 46, 509 (1934).
5. Park D., Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill, New York, 1964, pp. 516— 519.
6. Altmann S. L. et al., Proc. Roy. Soc., A244, 141, 153 (1958).! j7. Slater J. C., Phys. Rev., 51, 846 (1937).
|8. Loucks T. L., Augmented Plane Wave Method, W. A. Benjamin, Menlo Park, California,
1967.
9. Korringa /., Physica, 13, 392 (1947).
10. Kohn W., Rostoker N., Phys. Rev., 94, 1111 (1954).
11. Saxon D. S., Elementary Quantum Mechanics, Holden-Day, San Francisco, 1968.
12. Altmann S. L., в кн. Soft X-Ray Band Spectra, ed. Fabian D., Academic Press, London,
1968.
13. Segall B., Phys. Rev., 124, 1797 (1961).
14. Herring C., Phys. Rev., 57, 1169 (1940).
15. Antoncik E., J. Phys. Chem. Solids, 10, 314 (1959).
16. Phillips J. C., Kleinman L., Phys. Rev., 116, 287, 880 (1959).
17. Solid State Physics, vol. 24, eds. Turnbull D., Seitz F., Academic Press, New York, 1970. (Имеется перевод: Хейне В., Коэн M., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала.—M.: Мир, 1973.) ГЛАВА 11
ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ
ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ ЕЛОХОВСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ОБЩИЕ^ЧЕРТЫ ПОЛУ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОСТОЯННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ «ДЫРОК» ПОСТОЯННЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ЭФФЕКТ ХОЛЛА И МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЕ
Теория Блоха (гл. 8) обобщает равновесную теорию свободных электронов Зоммерфельда (гл. 2) на случай наличия периодического (не постоянного) потенциала. В табл. 12.1 мы сравниваем основные черты двух теорий.
Для исследования проводимости необходимо обобщить равновесную теорию Зоммерфельда на неравновесные случаи. В гл. 2 мы утверждали, что, когда нет необходимости указывать местоположение электронов с точностью порядка межэлектронных расстояний, для расчета динамического поведения газа свободных электронов можно пользоваться обычной классической механикой. Поэтому траекторию каждого электрона в промежутках между столкновениями мы рассчитывали в соответствии с обычными уравнениями движения частицы с импульсом Hk:
