Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Такой результат, столь не соответствующий классическим представлениям об электронах, согласно которым они постоянно испытывают тормозящие столкновения с отдельными ионами, можно понять, рассматривая его как естественное следствие волновой природы электронов. В периодической решетке рассеивающих центров волна способна распространяться без затухания благодаря когерентной конструктивной интерференции рассеянных волн 3).
Металлы имеют электрическое сопротивление из-за того, что никакое твердое тело не является идеальным кристаллом. В нем всегда есть примеси, вакансии и другие несовершенства периодической структуры, на которых могут рассеиваться электроны, и при очень низких температурах именно они ограничивают проводимость. Однако даже если бы удалось полностью устранить несовершенства периодической структуры, то и тогда проводимость осталась бы конечной из-за тепловых колебаний ионов, которые нарушают идеальную периодичность потенциала, действующего на электроны. Такие отклонения, величина которых зависит от температуры, могут приводить к рассеянию электронов; они обусловливают температурную зависимость электронного времени релаксации, отмечавшуюся в гл. 1.
Мы откладываем до гл. 16 и 26 полное обсуждение реальных механизмов рассеяния. Пока лишь отметим, что теория Блоха заставляет нас теперь отказаться от наивной схемы электрон-ионного рассеяния, предложенной Друде.
*) Используя термин «блоховские электроны», мы имеем в виду электроны впроизволь-ном периодическом потенциале.
2) См. стр. 147.
3) Единое рассмотрение широкого класса таких явлении можно найти в книге Бриллюэна [3]. Полуклассическая модель динамики электронов
219"
Мы, однако, будем продолжать пользоваться теми ее выводам*-:, которые вытекают просто из предположения, что какой-то механизм рассеяния существует, и пе зависят от детальных характеристик этого механизма.
Тогда основная проблема, стоящая перед нами, заключается в том, как описать движение блоховских электронов в промежутках между столкновениями. Для ее решения заметим, что средняя скорость электрона на блоховском уровне г])пк есть
Vn (И = 4--?^- (12-3)
Это обстоятельство весьма важно для последующего. Рассмотрим волновой пакет, построенный из блоховских уровней данной зоны аналогично волновому пакету свободных электронов [см. (12.2)]:
гК(г, \\>Ak. (12.4)
k'
Пусть ширина пакета по волновым векторам Ak мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна и поэтому 6n(k) мало меняется для уровней, входящих в волновой пакет. Тогда формулу для скорости (12.3) можно рассматривать как известное утверждение, что групповая скорость волнового пакета равна да/дк = (д/дк) фШ).
Подобные волновые пакеты описываются полуклассической моделью в случае, если нет необходимости задавать положение электрона с точностью порядка ширины пакета.
Оценим, какие размеры должен иметь волновой пакет (12.4), чтобы его ширина по волновым векторам была мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Рассмотрим волновой пакет в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние, равное некоторому вектору рэшетки Бравэ. Полагая г = r„ + R и используя основное свойство блоховской функции (8.6), можно записать (12.4) в виде
Ч>„ (г0 + R, t) = 2 [g (k') ^nk- (Г0)] exp [i ( к' • R —і %п (k') t) ] . (12.5) к'
Если рассматривать это выражение как функцию от R при заданном г0, то оно представляет собой просто суперпозицию плоских волн вида (12.2) с весовой функцией
f(k) = [?(k) ^nk (г0)1-
Следовательно, если Ak характеризует ширину области, где функция g (или g) имеет заметную величину 2), то, согласно обычным правилам для волновых пакетов, функция Ipn(го + R) должна быть локализована в области с размерами AR яг і IAk. Поскольку интервал Ak мал по сравнению с размерами зоны, которые имеют порядок Па (а — постоянная решетки), мы получаем, что размер AR должен быть большим по сравнению с а. Этот вывод не зависит от конкретного значения г0, поэтому можно заключить, что волновой пакет блохов-
См. стр. 147. Этот результат доказан в приложении Д.
2) Если функция g велика только в малой (по сравнению с размерами зоны) окрестности точки к, то в этой области ij)nk (г0) меняется очень мало и величина g, рассматриваемая как функция от к, отличается от g практически лишь на постоянный множитель. :220 Глава 12
ских уровней, волновой вектор которого хорошо определен в интервале, малом по сравнению с размерами зоны Бриллюэна, «размазан» по большому числу элементарных ячеек в реальном пространстве.
Полуклассическая модель описывает реакцию электронов на внешние электрические и магнитные поля, которые медленно меняются на длине волнового пакета (фиг. 12.1), а поэтому чрезвычайно медленно — на расстояниях порядка размера элементарной ячейки. В полуклассической модели подобные
hl пін i i i i i.....i i il іуі i i гну ......Ill i I il il il..........
—ч н— Ширина волнового пакета —^ -Постоянная решетки
I»------------------------------^
Длина волны внешнего поля
Фиг. 12.1. Схематическое изображение ситуации, описываемой полуклассической моделью.
