Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 117

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 203 >> Следующая


Было бы бессмысленным пытаться аппроксимировать волновую функцию валентного уровня во всем пространстве с помощью нескольких плоских волн (как в методе почти свободных электронов) — при этом не удается получить быстро осциллирующее поведение в областях ионной сердцевины. Херринг заметил, что для учета такого поведения можно воспользоваться не простыми плоскими волнами, а такими, которые с самого начала ортогональны волновым функциям ионного остова. Итак, определим ортогонализованную плоскую волну (ОПВ) в виде

$4k = eik-r+2M>k(r), (11.24)

с

где суммирование ведется по всем уровням остова с блоховским волновым вектором к. Волновые функции остова предполагаются известными (обычно их можно считать комбинациями атомных волновых функций, получаемыми с помощью метода сильной связи). Постоянные коэффициенты Ъс определяются из требования ортогональности функции фъ к каждому из уровней остова *):

Jdnfrp (г) ^k (г) = 0, (11.25)

откуда следует, что

bc= — J dn|?* (г) eik'r. (11.26)

ОПВ фк обладает следующими свойствами, характерными для волновых функций валентных уровней.

1. По своему построению она ортогональна всем уровням остова. Поэтому она имеет также требуемые быстрые осцилляции в областях ионной сердцевины. Особенно хорошо это видно из (11.24), поскольку волновые функции остова, входящие в определение фк, сами осциллируют в областях ионной сердцевины.

2. Благодаря тому что уровни остова локализованы вблизи точек решетки, второе слагаемое в (11.24) мало в области между узлами, и там функция фк очень близка к отдельной плоской волне е'к г.

Поскольку плоская волна eikr и волновые функции остова Ipk (г) удовлетворяют условию Блоха с волновым вектором к, ему удовлетворяет также ОПВ ^k. Поэтому можно, как и в методе ППВ, искать разложение реальных электронных собственных состояний для уравнения Шредингера в виде суперпозиции ОПВ

(11.27)

к

Как и в методе ППВ, мы можем определить коэффициенты ск в (11.27) и энергии % (к), подставив разложение (11.27) в функционал (11.17) и потребовав, чтобы производные получающегося выражения по всем ск были равны нулю. Кристаллический потенциал U (г) входит в получающуюся задачу на собственные значения только через его матричные элементы по ОПВ:

J ФЇ+К (T) U (T) фк+К, (г) dr. (11.28)

Мы предполагаем обычное условие нормировки j dr | г^ |2 = 1. Заметим, что функция Фк, также ортогональна функции i|)k при k' ^tk в силу условия Блоха. Другие методы расчета зонной структуры

211

Эффективность метода ОПВ связана с тем обстоятельством, что матричные элементы потенциала U по ОПВ оказываются малыми, хотя его матричные элементы по плоским волнам велики. Благодаря этому разложение по ОПВ сходится очень быстро, тогда как достигнуть сходимости разложения по плоским волнам практически невозможно.

На практике метод ОПВ применяют двумя различными способами. С одной стороны, можно производить численные расчеты методом ОПВ исходя из первых принципов. В этом случае начинают с атомного потенциала, вычисляют его матричные элементы по ОПВ и решают (для достижения хорошей сходимости) задачи на собственные значения с матрицами довольно высокого порядка (иногда требуется поразительно мало ОПВ. но может быть необходимо и сто ОПВ).

С другой стороны, часто встречаются «расчеты» зонной структуры, фактически основанные на методе почти свободных электронов (см. гл. 9), в которой фурье-компоненты ?/)< потенциала рассматриваются как подгоночные параметры, а пе как известные величины. Затем фурье-компоненты Uk определяются путем подгонки зон почти свободных электронов либо к экспериментальным данным, либо к зонам, которые детально рассчитаны посредством одного из более реалистических методов. Так, например, KKP зоны для алюминия, показанные на фиг. 11.9, можно воспроизвести с высокой точностью во всей зоне Бриллюэна, выполнив расчет по методу почти свободных электронов с четырьмя плоскими волнами с использованием всего двух параметров: U\ 11 и t/ 200-

Подлинная теория почти свободных электронов не может, конечно, давать таких хороших результатов. Следовательно, задача на собственные значения для «почти свободных электронов» должна быть в действительности заключительной стадией гораздо более сложного анализа, например по методу ОПВ, а фурье-компоненты Uk есть на самом деле матричные элементы потенциала по ОПВ, а не по плоским волнам. Поэтому подобные вычисления принято называть расчетами по методу OI1B. В таком контексте этот термин служит, однако, лишь для напоминания о том, что хотя формально анализ идентичен методу почти свободных электронов, ему все же можно дать более надежное теоретическое основание.

Совершенно не ясно тем не менее, является ли подход ОПВ наилучшим способом сведения реальной задачи об электроне в периодическом потенциале к эффективному расчету для «почти свободных» электронов. Более систематический способ изучения этой проблемы, а также ряда других вычислительных подходов дают методы псевдопотенциала.

ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ

Теория псевдопотенциала возникла первоначально как обобщение метода ОПВ. Она не только дает возможность уточнения расчетов ОПВ, по и позволяет (по крайней мере частично) объяснить, почему расчеты методом почти свободных электронов могут давать хорошее согласие с реальными зонными структурами.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed