Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы еще раз убедиться в справедливости наших рассуждений, полезно взять периодическую таблицу химических элементов и посмотреть, какова кристаллическая структура веществ, которые в твердом состоянии не обладают тепло- и электропроводностью. Оказывается, что они либо имеют четную валентность, либо их кристаллическую структуру (например, у галогенов) можно представить в виде решетки с базисом из четного числа атомов. Это подтверждает сформулированное выше общее правило.
ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОСТОЯННОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Для однородного статического электрического поля полуклассическое уравнение движения для к [см. (12.6)] имеет общее решение:
к (г) = к(0)--е-—~. (12.17)
Следовательно, за время t волновые векторы всех электронов изменяются на одинаковую величину. Это согласуется со сделанным ранее замечанием, что в полуклассической модели внешние поля не влияют на заполненную зону: однородный сдвиг всех волновых векторов каждого заполненного уровня не меняет плотности электронов в фазовом пространстве, если она постоянна, как в случае заполненной зоны. Возможность одинакового сдвига волнового вектора каждого электрона без создания токовой конфигурации кажется, конечно, странной с точки зрения классических представлений об электронах.
Чтобы понять, почему это имеет место, вспомним, что вклад в полный ток от отдельного электрона пропорционален его скорости, которая не пропорциональна к в полуклассической модели. Скорость электрона в момент t равна
v(k(t)) = v(k(0) - (12.18)
Поскольку V (к) имеет периодичность обратной решетки, скорость (12.18) оказывается ограниченной функцией от t, а когда поле E параллельно одному из векторов обратной решетки, она осциллирует со временем! Это совершенно не похоже на случай свободных электронов, для которых скорость v пропорциональна к и растет линейно с увеличением t.
Зависимость скорости от к (и, с точностью до постоянного множителя, от t) проиллюстрирована на фиг. 12.4, где показаны функции % (к) и v (к) в одномерном случае. Хотя скорость линейно зависит от к вблизи дна зоны, при приближении к границе зоны Бриллюэна она достигает максимума, а затем вновь падает, обращаясь в нуль на границе зоны. В области между точкой максимума скорости V и границей зоны скорость уменьшается с ростом к, так что ускорение электрона противоположно внешней приложенной электрической силе!:228
Глава 12
Такое необычное поведение является следствием наличия дополнительной силы, обусловленной периодическим потенциалом, который, хотя и не входит явно в полуклассическую модель, тем не менее учитывается в ней [видом функций Ш (к)]. При приближении электрона к брэгговской плоскости внешнее электрическое поле перемещает его к уровням, на которых он имеет все более высокую вероятность брэгговского отражения в обратном направлении *).
Итак, если бы между столкновениями электрон проходил в й-пространстве расстояния, превышающие размеры зоны Бриллюэна, то статическое поле могло бы создавать переменный ток. В действительности этого не происходит ввиду большой частоты столкновений. При разумных значениях напряженности поля и времени релаксации изменение волнового вектора за время между двумя столкновениями, определяемое выражением (12.17), очень мало по сравнению с размерами зоны 2).
Хотя гипотетические эффекты периодического движения в постоянном поле недоступны для наблюдения, существуют другие эффекты, основной вклад в которые дают электроны, расположенные достаточно близко от границы зоны Бриллюэна, чтобы замедляться внешним полем. Такие эффекты легко |наблю-дать по необычному поведению «дырою^1
ДЫРКИ
Один из самых впечатляющих результатов полуклассической модели — объяснение явлений, которые можно было бы описать в рамках теории свободных электронов, лишь предположив, что носители тока имеют положительные заряды. К числу таких явлений в первую очередь следует отнести аномальный знак коэффициента Холла в ряде металлов (см. стр. 70). Чтобы понять, почему электроны в зоне проводимости могут давать такой вклад в ток, как если бы они были положительно заряжены, нужно учесть три важных обстоятельства.
1. Поскольку электроны в элементе объема dk с центром в к дают вклад —ev (к) йк/4я3 в плотность тока, вклад всех электронов из данной зоны равен
1 -S-yW' (12-19)
(По заполн. уровням)
1J Например, именно в окрестности брэгговских плоскостей приближение почти свободных электронов (гл. 9) дает наиболее сильное перемешивание уровней, имеющих форму плоских волн с различными волновыми векторами.
2) При электрическом поле порядка IO-2 В/см и времени релаксации порядка IO-14 о
величина еЕх/Л имеет порядок IO-1 см-1. Размеры зоны составляют около На ~ IO8 см-1.
Фнг. 12.4. Зависимость величин % (к) и V (к) от к [или от времени с учетом формулы (12.17)] в одномерном случае.
В случае трех измерений кривые изображают зависимость тех же величин от h для направления, параллельного вектору обратной решетки, который определяет одну из граней первой зоны Бриллюэна.Полуклассическая модель динамики электронов