Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
= 4 dA%kz) . (12.44)
Подчеркнем, что эта эффективная масса не обязательно должна совпадать с другими эффективными массами, которые удобно вводить в других задачах, например с эффективной массой для теплоемкости. (См. задачу 2.)
ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
Если помимо статического магнитного поля H присутствует постоянное электрическое поле Е, то в уравнении (12.35) для проекции орбиты в реальном пространстве на плоскость, перпендикулярную Н, появляется дополнительный член
hr -
г± (O-F1(O)= _^-Hx[k(Z)-k(0)] + wZ, (12.45)
(12.46)
Поэтому нормальное к H движение в реальном пространстве представляет собой суперпозицию двух видов движения: а) движения по орбите, которая получается путем поворота и изменения масштаба орбиты в ^-пространстве, как если бы имелось лишь магнитное поле, и б) равномерного дрейфа со скоростью W3).
*) Величины А ж T зависят от энергии % электрона на орбите и от выбора плоскости, который задается путем указания кг, причем ось z направлена вдоль поля.
2) См. стр. 29 и формулу (1.18). Выражение (12.43) выведено из общего результата (12.42) в задаче 1.
3) Читатель, знакомый с теорией электромагнетизма, без труда поймет, что w представляет собой скорость системы отсчета, в котосой электрическое поле равно нулю.
где
W= C-Jj- (Е X Н) Полуклассическая модель динамики электронов
237"
Чтобы определить вид орбиты в /с-пространстве, заметим, что при взаимно перпендикулярных полях E и H уравнение движения (12.66) можно записать в форме
йк=- —4--?- X н' (12.47)
с H д к
где
S (к) = ?(к) —Йк-W. (12.48)
Уравнение (12.47) имеет тот же вид, что и уравнение движения электрона в присутствии одного лишь магнитного поля, если считать, что зонная структура определяется функцией її (к), а не Щ (к) [ср. уравнение (12.33)]. Исходя из нашего анализа для этого случая, мы можем поэтому сделать вывод, что орбиты в ^-пространстве определяются пересечением поверхностей постоянного значения % с плоскостями, перпендикулярными магнитному полю.
Таким образом, мы получили явный способ геометрического построения полуклассических орбит для скрещенных магнитного и электрического полей.
ЭФФЕКТ ХОЛЛА В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ И МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЕ2)
Продолжим рассмотрение ситуации со скрещенными электрическим и магнитным полями для случая, когда а) магнитное поле очень сильно (обычно IO4 Гс и выше; конкретное физическое условие сильных тіолей зависит от зонной структуры и оосуждается ниже) и б) величина % (к) лишь незначительно отличается от if (к). Второе предположение почти наверняка справедливо при выполнении первого из них, поскольку типичный волновой вектор к по порядку величины не превышает 1 Ia0. Следовательно,
Учитывая, что еЕа0 в лучшем случае 3) имеет порядок 10~10 эВ, a Hac в поле напряженностью IO4 Гс — порядок IO-4 эВ, величина /zk -w оказывается порядка IO-6 ридберг. Поскольку її (к) обычно составляет десятые доли ридберга, видно, что ЇЇ (к) [см. (12.48)] и її (к) действительно близки по величине.
Поведение тока, вызываемого электрическим полем, в пределе сильных магнитных полей оказывается совершенно различным в зависимости от того, а) лежат ли все занятые (или все незанятые) электронные уровни на замкнутых орбитах или же 6) некоторые из занятых или незанятых уровней лежат на орбитах, которые не замкнуты, а имеют бесконечную протяженность, или «открыты» в ^пространстве. Поскольку величина її (к) очень близка к Ш (к), будем предполагать, что, если одному из этих критериев удовлетворяют орбиты, определяемые величиной то ему же удовлетворяют и орбиты, определяемые величиной Ш.
*) Для свободного электрона % представляет собой просто его энергию в системе отсчета, движущейся со скоростью w (с точностью до не зависящей от к постоянной).
2) Применяя предыдущий анализ, относившийся к скрещенным полям, к теории эффекта Холла и магнетосопротивления, мы ограничиваемся рассмотрением геометрии, достаточно симметричной по отношению к осям кристалла, так что как поле Холла, так и приложенное электрическое поле перпендикулярны магнитному полю. Однако к аналогичным выводам можно прийти и в общем случае с помощью более сложных методов, обсуждаемых в гл. 13.
3) См. абзац, следующий за формулой (12.9). [Предполагается, что е2Ia0^h2Imag.—
Прим. ред.] :238
Глава 12
Случай 1. Если все занятые (или все незанятые) орбиты замкнуты, т» в качестве условия сильного поля выберем требование, чтобы за время между столкновениями электрон успевал совершить много оборотов по орбите. Для свободных электронов ЭТО СВОДИТСЯ К условию COcT 1; будем считать, что в общем случае оно определяет требуемый порядок величины поля. Чтобы такое условие выполнялось, необходимы не только очень высокие поля (IO4 Гс и более), но и очень чистые монокристаллы при очень низких температурах, что обеспечивает большие времена релаксации. Ценою определенных усилий удается достигнуть значений сост порядка 100 и выше.
Итак, пусть для любой орбиты, содержащей занятые уровни *), период T мал по сравнению со временем релаксации т. Чтобы рассчитать плотность тока в момент времени t = 0, заметим 2), что j = —nes, где v представляет собой усредненную по всем занятым уровням среднюю скорость, приобретенную электроном за время после его последнего столкновения. Поскольку среднее время, прошедшее после последнего столкновения, есть т, из (12.45) следует, что для отдельного электрона составляющая этой скорости, перпендикулярная магнитному полю, равна
