Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1J Поскольку скорость поперечного движения по орбите пропорциональна H [см. (12.47)].
а) Заметим, что при E = O этот вклад должен давать нуль при усреднении по всем орбитам (поскольку j и w равны нулю); следовательно, должны существовать противоположно направленные открытые орбиты, вклады которых взаимно уничтожаются. В присутствии электрического поля, однако, возрастает населенность орбит, направленных так, что на них электроны отбирают энергию от поля, и падает населенность орбит, на которых электроны теряют энергию (фиг. 12.10). Разность населенностей пропорциональна проекции дрейфовой скорости w на направление орбиты в /с-пространстве или же, эквивалентно, пропорциональна проекции E на направление орбиты в реальном пространстве. Этим обусловливается зависимость от п-Е в формуле (12.56).:242 Глава 12
щается в нуль 1). Поэтому электрическое поле имеет вид (см. фиг. 12.11)
Е — Е(0)п' + Еп>п, (12.57)
где о' — единичный вектор, перпендикулярный п и H (n' = Ii X Н), E^ не зависит от H в пределе сильных полей, а Еа) стремится к нулю при H-*- оо, Магнетосопротивление есть отношение проекции E вдоль j к /':
P=-T1-. (12.58)
Если ток не параллелен направлению п открытой орбиты, то в пределе сильных полей отсюда следует
Р=(^)пЧ (12.59)
Чтобы найти ?(0)//, мы вначале подставляем электрическое поле (12.57) в соотношение (12.56) между полем и током и определяем главный член в j в пределе сильных полей
З^о'о'пЯ«1' + а(1>.п'?«». (12.60)
Поскольку вектор п' перпендикулярен п, имеем
n'.j = ^"^'^«1».^ (12.61)
или
^ = -J-Lr- (12.62)
J п'о^ьп' v '
Подставляя этот результат в (12.59), получаем, что в пределе сильных полей основной член в магнетосопротивлении имеет вид
----(n'-j)2 (12.63)
п'-аЫ-п'
Поскольку о(1> обращается в нуль в пределе сильных полей, найденное магнетосопротивление неограниченно возрастает с ростом поля и пропорционально квадрату синуса угла между током и направлением открытой орбиты я- реальном пространстве.
Таким образом, полуклассическая модель дает объяснение еще одного противоречия теории свободных электронов. Она предлагает два возможных механизма 2), благодаря которым с увеличением магнитного поля может происходить неограниченный рост магнетосопротивления.
Мы откладываем до гл. 15 обсуждение конкретных примеров того, как эти предсказания согласуются с поведением реальных металлов, и переходим к изложению более систематического метода расчета кинетических коэффициентов в полуклассической модели.
ЗАДАЧИ
1. Для свободных электронов % (k) = h2k2l2m. Вычислите дА (g, kz)/dg и покажите, что общее выражение (12.42) для периода движения в магнитном поле приводит к результату (12.43) для свободных электронов.
2. Для электронов вблизи минимума (или максимума) зоны % (к) имеет вид
•g(k)=const+ -^-(к —к0). М-1-(к-к0), (12.64)
г) В эксперименте (см. фиг. 12.11) задается лишь компонента E вдоль j. Однако в стационарном состоянии появляется также перпендикулярное к j поле Холла (см. стр. 28), которое делает возможным обращение в нуль величины E - п в пределе сильных полей.
2) Это открытые орбиты или компенсация (задача 4). В теории свободных электнонов магнетосопротивление не зависит от поля.Полуклассическая модель динамики электронов 243"
где матрица M не вависит от к. (Электроны в полупроводниках почти всегда рассматривают в этом приближении.)
а) Вычислите по формуле (12.44) циклотронную эффективную массу и покажите, что она не зависит от % и кг и дается выражением
т~ — ("УиМ* 2 (циклотронная эффективная масса), (12.65)
V "І22 /
где I M I — детерминант матрицы М.
б) Вычислите электронную удельную теплоемкость (2.80) для войной структуры (12.64) и, сравнив ее с соответствующим результатом для свободных электронов, покажите, что для удельной теплоемкости эффективную массу (см. стр. 62) можно определить выражением
т* = I IVI I1/3 (эффективная масса для теплоемкости). (12.66)
3. Если g (к) имеет вид (12.64), то полуклассические уравнения движения линейны и поэтому легко решаются.
а) Обобщите анализ, проведенный в гл. 1, и покажите, что для подобных электронов статическая электропроводность равна
<r = ne» тМ-Ч (12.67)
б) Заново выведите выражение (12.65) для циклотронной эффективной массы. Для этого получите в явном виде зависящее от времени решение уравнения (12.31)
= хн). (12.68)
и учтите, что угловая частота связана с т* соотношением © = еН/т*с.
4. Выражение [(1.19) теории свободных электронов для тока, вызываемого электрическим полем, которое перпендикулярно постоянному магнитному полю, можно записать в виде
E = P-], (12.69)
где тензор удельного сопротивления р есть
/ P -RH \RH P
(12.70)
[Из епределений (1.14) и (1.15) следует, что р — магнетосопротивление, a R — коэффициент Холла.]
а) Рассмотрите металл с несколькими частично заполненными зонами, в каждой из которых вызываемый ток связан с полем соотношением En = pnjn, где рп имеет вид (12.70)1)
Покажите, что полный ток определяется уравнением E = p.j, где