Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы не возникало недоразумений, напомним: слово «уровень» здесь тождественно выражению «одночастичное состояние»; «связанный уровень» означает «связанное состояние» и т. п.— Прим. ред. •182
Глава 4
ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА
При построении приближения сильной связи будем предполагать, что в окрестности каждой точки решетки полный гамильтониан H периодического кристалла можно аппроксимировать гамильтонианом Hat отдельного атома, расположенного в этой точке решетки. Будем также предполагать, что связанные уровни атомного гамильтониана хорошо локализованы; иными словами, если г|;п — волновая функция связанного уровня гамильтониана Hat для атома в начале координат,
H^n = En^n, (10.1)
то функция г|;п (г) становится очень малой, когда г превышает определенное расстояние, имеющее порядок длины постоянной решетки, которое ниже мы будем называть «радиусом локализации» волновой функции грп.
В предельном случае, когда гамильтониан кристалла начинает отличаться от Hat (для атома, находящегося в точке решетки, выбранной в качестве начала
Фиг. 10.2. Функция AU (г) вдоль линии, соединяющей атомные узлы (нижняя кривая).
Добавляя AU (г) к потенциалу отдельного атома, расположенного в начале координат, получаем полный периодический потенциал. Верхняя кпивая соответствует умноженной на г атомной волновой функции, локализованной вблизи начала отсчета. Когда произведение тФ (г) велико, поправка Д U (г) мала, и наоборот.
отсчета) лишь на расстояниях от точки г = 0, превышающих радиус локализации волновой функции грп (г), такая функция дает превосходную аппроксимацию волновой функции стационарного состояния с энергией En для полного гамильтониана. Благодаря тому что гамильтониан H имеет периодичность решетки, это справедливо и для других волновых функций грп (г — R) при всех векторах R решетки Бравэ.
Чтобы найти поправки к этому предельному случаю, запишем гамильтониан кристалла H в виде
tf = tfat+At/(r), (10.2)
где А {7 (г) содержит все поправки к атомному потенциалу, необходимые для получения полного периодического потенциала кристалла (фиг. 10.2). Если \|э„ (г) удовлетворяет уравнению Шредингера (10.1) для атома, то при условии, Метод сильной связи
183
что Д?7 (г) обращается в нуль там, где функция я|)п (г) не равна нулю, она будет удовлетворять также и уравнению Шредингера (10.2) для кристалла. Если бы это имело место, то каждый атомный уровень ajjn (г) давал бы в периодическом потенциале N уровней с волновыми функциями ajjn (г — R), по одному для каждого из N узлов R в решетке. Чтобы сохранить блоховское описание, нам необходимо найти N линейных комбинаций этих вырожденных волновых функций, которые удовлетворяют условию Блоха (8.6):
\J>(r + R) = elk'Rij)(r). (10-3)
Требуемые N линейных комбинаций таковы:
abk(r) = 2e,k,I4n(r-R), (10.4)
r
где к принимает N значений в первой зоне Бриллюэна в соответствии с периодическим граничным условием Борна — Кармана *). Выполнение условия Блоха (10.3) для волновых функций (10.4) можно проверить, замечая, что
¦ф (г + R) = У! eik ¦ R'a|3n (г + R — R') = elk• R [ ^ eik • (г — (R' — R))l =
rv r'
= eik-R eik-Ra|5n (r — R)] = е1к<кя|з(г). (10.5)
r
Следовательно, волновые функции (10.4) удовлетворяют условию Блоха с волновым вектором к, сохраняя в то же время свойства атомных волновых функций. Получаемые таким образом энергетические зоны оказываются, однако, слишком тривиальными: Sn (к) просто равны энергии En атомного уровня и не зависят от к. Чтобы улучшить описание, сделаем более реалистическое допущение, а именно предположим, что функция ajjn (г) мала, но не строго равна нулю, там где А?7(г) имеет еще достаточно большие значения (см. фиг. 10.2). Это означает, что нам следует искать такое решение полного уравнения Шредингера для кристалла, которое сохраняет общий вид (10.4) 2)
гНг) = 2е*к-н<Ь (r-R), (10 6)
r
но в котором функция ф (г) не обязательно совпадает с точной атомной волновой функцией стационарного состояния, а должна быть определена в ходе последующего расчета. Если произведение AC/(r)aJjn(r) хотя и отлично от нуля, но очень мало, следует ожидать, что функция ф (г) будет весьма близкой к атомной волновой функции ajjn(r) или к волновым функциям, которые вырождены по отношению к ajjn(r). Руководствуясь этим предположением, будем искать функцию ф (г) в виде разложения по относительно малому числу локализован-
Если задача не заключается в непосредственном анализе поверхностных эффектов, никогда не следует поддаваться соблазну учесть конечность кристалла, ограничив суммирование по R в (10.4) лишь узлами, принадлежащими конечной области решетки Бравэ. Гораздо удобнее провести суммирование по бесконечной решетке Бравэ (эта сумма быстро сходится ввиду малого радиуса локализации атомной волновой функции г|5п) и учесть конечность кристалла с помощью обычного граничного условия Борна — Кармана, которое при выполнении условия Блоха накладывает на значения к стандартное ограничение (8.27). Если суммирование проводится по всем узлам, то, например, разрешена важная замена переменной суммирования R' на R = R' — Rb формуле (10.5).
