Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 105

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 203 >> Следующая


1J Последнее предположение имеет более шаткие основания по сравнению с первыми двумя, ибо потенциалы ионов не обязательно должны спадать так же быстро, как атомные волновые функции. Однако оно не столь важно для получения последующих выводов, поскольку соответствующее слагаемое не зависит от k. В некотором смысле данное слагаемое играет роль поправки к атомным потенциалам в каждой ячейке, учитывающей поля ионов вне этой ячейки; его можно сделать таким же малым, как и первые два, проведя разумное переопределение «атомных» гамильтониана и уровней.

2) Обратите внимание на сходство с рассуждениями на стр. 158—162. Там, однако, мы пришли к выводу, что волновая функция есть линейная комбинация малого числа плоских волн, у которых энергии близки друг к другу. Здесь мы приходим к выводу, что волновую функцию можно представить с помощью (10.7) и (10.6) в виде суперпозиции малого числа атомных волновых функций с близкими энергиями.

3) Мы пренебрегаем пока спин-орбитальной связью и можем поэтому ограничиться рассмотрением орбитальных уровней. Наличие спина можно затем учесть, умножив орбитальные волновые функции на подходящие спиноры и удвоив вырождение каждого из орбитальных уровней.

4) Простейшим является случай s-зоны. Следующий по сложности случай р-зоны обсуждается в задаче 2. •186

Глава 4

ПРИМЕНЕНИЕ К СЛУЧАЮ s-ЗОНЫ, ПОРОЖДАЕМОЙ ОДНИМ АТОМНЫМ s-УРОВНЕМ

Если все коэффициенты Ъ в (10.12) равны нулю, кроме коэффициента для одного атомного s-уровня, то из уравнения (10.12) мы непосредственно получаем зонную структуру соответствующей s-зоны:

S (k + ' (10.15)

где Es — энергия атомного s-уровня и

? = - j drAU(T) I ^ (г) I2, (10.16)

a (R) = J dr ф* (г) ф (г - R), (10.17)

у (R) = _ J dr ф* (г) AU (г) ф (г - R). (10.18)

Коэффициенты (10.16) — (10.18) можно упростить, воспользовавшись соображениями симметрии. Поскольку мы рассматриваем s-уровень, его волновая функция ф (г) действительна и зависит только от абсолютной величины г. Отсюда следует, что a (—R) = a (R). Из этого соотношения и из симметрии

решетки Бравэ относительно инверсии, в соответствии с которой AU (—г) = = AU (г), получаем также, что у (-R) = = V (R). Мы пренебрегаем членами с a в знаменателе выражения (10.15), ибо они приводят к малым поправкам к его числителю. Окончательное упрощение достигается, если предположить, что интегралы перекрытия имеют значительную величину только на расстояниях порядка расстояний между ближайшими соседями.

С учетом всех этих замечаний выражение (10.15) приобретает вид

ш (k) = s v(R)Cosk-R,

б лиж. соседи

(10.19)

где суммирование ведется по тем векторам R решетки Бравэ, которые соединяют начало отсчета с его ближайшими соседями.

Для конкретности рассмотрим, что дает выражение (10.19) в случае г. ц. к. кристалла. Двенадцать ближайших соседей начала отсчета (фиг. 10.3) имеют тогда координаты

R = -|- (± 1, ±1, 0), f (±1, 0, ±1), -f(0, ±1, ±1). (10.20)

Если k = (кх, ку, kz), то имеем следующие соответствующие двенадцать значений произведения к-R:

к R = 4(+?, ±kj), і, j = X, у- у, z; z, х. (10.21)

Фиг. 10.3. Двенадцать ближайших соседей начальной точки в г. ц. к. решетке, у которой длина стороны условной кубической ячейки равна а. Метод сильной связи

187

Потенциал AU (г) = AU (х, у, z) обладает полной кубической симметрией решетки и поэтому не меняется при перестановках его аргументов или изменении их знаков. В сочетании с тем, что волновая функция ф (г) для ¦s-уровня зависит только от абсолютной величины г, это означает, что коэффициенты Y (R) равны одной и той же постоянной Y для всех двенадцати векторов (10.20). Следовательно, после суммирования в (10.19) с учетом (10.21) получим

% (k) = Es — ? — 4^ (cos 1I2Jt,ta cos 1I Jtva +

-J- cos 1ZJtya cos 1ZJtza + cos lIJtza cos 1I2JcxA), (10.22)

где

Y = — ^(ітф* (x, у, z) AU (x, y, z) ф (x — Чга, у — 1Z^a, z). (10.23)

Выражение (10.22) выявляет характерную особенность энергетических зон в методе сильной связи: их ширина, т. е. расстояние между максимальной

уровни

Фиг. 10.4. а — схематическое изображение невырожденных электронных уровней в атомном потенциале;

б — энергетические уровни для N атомов, образующих периодическую решетку, как функции

обратного межатомного расстояния.

Когда атомы расположены далеко друг от друга (малые интегралы перекрытия), уровни почти вырождены; если же атомы лежат ближе друг к другу (большие интегралы перекрытия), уровни расширяются в

зоны.;

и минимальной энергиями в зоне, пропорциональна малому интегралу перекрытия Y- Поэтому в методе сильной связи зоны узки, и чем меньше перекрытие, тем уже зона. В пределе бесконечно малого перекрытия ширина зоны также обращается в нуль и зона становится Ar-KpaTHo вырожденной; это соответствует случаю электрона, покоящегося на одном из N изолированных атомов и не движущегося по кристаллу. Зависимость ширины зоны от интеграла перекрытия показана на фиг. 10.4.

На примере выражения (10.22) видно не только влияние перекрытия на ширину зоны; оно позволяет установить также ряд общих свойств зонной структуры г. ц. к. кристаллов, которые характерны не только для случая сильной связи. Основные из них таковы:
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed